Часть второй хорды неизвестна. Найдите ее, если известно, что одна хорда разделена на отрезки 5 и 12 см при пересечении

Schelkunchik

57

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать свойство перпендикуляра, а именно, когда две хорды пересекаются внутри окружности, произведение длин отрезков, на которые каждая хорда делится, равно другому произведению отрезков, на которые пересекающаяся хорда делится.

Пусть хорда, которая разделена на отрезки 5 и 12 см, будет хордой АВ (рисунок 1), а вторая хорда, которую мы ищем, будет хордой CD (рисунок 1 и 2).

\[
\begin{array}{c}

O \\
\\
\\

\end{array}
\]


\[
\begin{array}{c}

| \\
A--D--B\\
| \\

\end{array}
\]

Рисунок 1: Окружность с хордой АВ и неизвестной хордой CD.

\[
\begin{array}{c}

O \\
\\
\\
C\\
\\

\end{array}
\]

\[
\begin{array}{c}

| \\
A--D--B\\
| \\

\end{array}
\]

Рисунок 2: Окружность с хордой АВ и неизвестной хордой CD.

Мы знаем, что длина отрезка АС равна 5 см, а длина отрезка SB равна 12 см (рисунок 1). Пусть отрезок AS равен а, а отрезок SB равен b. Тогда отрезок АС будет равен a + 5 (так как АС = а + 5) (рисунок 2).

Используя свойство перпендикуляра, мы можем записать следующее равенство: (а + 5) * b = 5 * 12

На данный момент у нас есть уравнение \( (a + 5) * b = 5 * 12 \), которое мы можем решить.

Раскроем скобки: \( ab + 5b = 60 \)

Выразим неизвестную хорду CD в зависимости от а: \( ab = 60 - 5b \)

Разделим обе части уравнения на b: \( a = \frac{60-5b}{b} \)

Теперь мы имеем выражение для а в зависимости от b. Можно заметить, что данное уравнение будет иметь бесконечно много решений, так как у нас есть две неизвестные – а и b.

Возьмем произвольное значение b, например, 2 см:

\( a = \frac{60 - 5(2)}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)

Таким образом, если отрезок SB равен 12 см, то отрезок CD равен 25 см.

В общем виде можно сказать, что если одна хорда разделена на отрезки 5 и 12 см при пересечении с другой хордой в окружности, то неизвестная хорда будет иметь длину 25 см.