Человек наблюдает за золотой рыбкой, которая находится в точке аквариума, находящейся на противоположном конце диаметра

Zabytyy_Zamok_3360

9

Индекс преломления воды равен $n=1.33$. Для решения этой задачи, нам понадобится использовать геометрию и законы преломления света.

Для начала, давайте обратимся к закону преломления света (закон Снеллиуса), который гласит, что угол падения света равен углу преломления света, умноженного на показатель преломления:

$$n_1\sin ({\theta }_1)=n_2\sin ({\theta }_2)$$

Где:
$n_1$ - показатель преломления среды, откуда свет идет (в нашем случае это воздух, для которого $n_1=1$),
$n_2$ - показатель преломления среды, в которую свет попадает (в нашем случае это вода, для которой $n_2=1.33$),
${\theta }_1$ - угол падения света,
${\theta }_2$ - угол преломления света.

В нашей задаче, мы наблюдаем золотую рыбку через аквариум, который имеет форму диаметра и находится на противоположном конце диаметра от нас. Пусть ${\theta }_1$ будет углом между горизонтальным направлением и линией от нас до рыбки, а ${\theta }_2$ - углом между горизонтальным направлением и линией от нас до изображения рыбки.

Так как аквариум имеет форму диаметра, то угол ${\theta }_1$ будет равен 90 градусам.

Используя закон Снеллиуса и учитывая, что ${\theta }_1$ = 90 градусов, можем записать:

$$n_1\sin ({90}^{\circ })=n_2\sin ({\theta }_2)$$

Так как $\sin ({90}^{\circ })=1$, упростим уравнение:

$$n_2\sin ({\theta }_2)=n_1\cdot 1$$
$$n_2\sin ({\theta }_2)=n_1$$

Теперь можем найти угол ${\theta }_2$. Делим обе части уравнения на $n_2$:

$$\sin ({\theta }_2)=\frac{n_1}{n_2}$$

Теперь найдем значение смещения изображения рыбки, относительно нее самой. Для этого рассмотрим треугольник, образованный из изображения рыбки, центра аквариума и точки, где свет попадает на поверхность воды.

Пусть смещение изображения рыбки относительно центра аквариума будет $d$. Тогда, используя геометрические свойства, можем записать:

$$\tan ({\theta }_2)=\frac{d}{0.5}$$

Так как $\tan ({\theta }_2)=\frac{\sin ({\theta }_2)}{\cos ({\theta }_2)}$, можем переписать уравнение:

$$\frac{\sin ({\theta }_2)}{\cos ({\theta }_2)}=\frac{d}{0.5}$$

Обратите внимание, что $\sin ({\theta }_2)$ и $\cos ({\theta }_2)$ относятся к одному углу ${\theta }_2$. Теперь можем применить тригонометрическую тождественную формулу ${\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1$, чтобы избавиться от $\cos ({\theta }_2)$ в уравнении:

$$\frac{\sin ({\theta }_2)}{\sqrt{1-{\sin }^2({\theta }_2)}}=\frac{d}{0.5}$$

$$\frac{\sin ({\theta }_2)}{\sqrt{1-{\sin }^2({\theta }_2)}}=\frac{d}{0.5}$$

Теперь можем решить это уравнение и найти $d$, смещение изображения рыбки относительно нее самой.