Человек наблюдает за золотой рыбкой, которая находится в точке аквариума, находящейся на противоположном конце диаметра

Zabytyy_Zamok_3360

9

Индекс преломления воды равен \( n = 1.33 \). Для решения этой задачи, нам понадобится использовать геометрию и законы преломления света.

Для начала, давайте обратимся к закону преломления света (закон Снеллиуса), который гласит, что угол падения света равен углу преломления света, умноженного на показатель преломления:

\[ n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2) \]

Где:
\( n_1 \) - показатель преломления среды, откуда свет идет (в нашем случае это воздух, для которого \( n_1 = 1 \)),
\( n_2 \) - показатель преломления среды, в которую свет попадает (в нашем случае это вода, для которой \( n_2 = 1.33 \)),
\( \theta_1 \) - угол падения света,
\( \theta_2 \) - угол преломления света.

В нашей задаче, мы наблюдаем золотую рыбку через аквариум, который имеет форму диаметра и находится на противоположном конце диаметра от нас. Пусть \( \theta_1 \) будет углом между горизонтальным направлением и линией от нас до рыбки, а \( \theta_2 \) - углом между горизонтальным направлением и линией от нас до изображения рыбки.

Так как аквариум имеет форму диаметра, то угол \( \theta_1 \) будет равен 90 градусам.

Используя закон Снеллиуса и учитывая, что \( \theta_1 \) = 90 градусов, можем записать:

\[ n_1 \sin(90^\circ) = n_2 \sin(\theta_2) \]

Так как \( \sin(90^\circ) = 1 \), упростим уравнение:

\[ n_2 \sin(\theta_2) = n_1 \cdot 1 \]
\[ n_2 \sin(\theta_2) = n_1 \]

Теперь можем найти угол \( \theta_2 \). Делим обе части уравнения на \( n_2 \):

\[ \sin(\theta_2) = \frac{n_1}{n_2} \]

Теперь найдем значение смещения изображения рыбки, относительно нее самой. Для этого рассмотрим треугольник, образованный из изображения рыбки, центра аквариума и точки, где свет попадает на поверхность воды.

Пусть смещение изображения рыбки относительно центра аквариума будет \( d \). Тогда, используя геометрические свойства, можем записать:

\[ \tan(\theta_2) = \frac{d}{0.5} \]

Так как \( \tan(\theta_2) = \frac{\sin(\theta_2)}{\cos(\theta_2)} \), можем переписать уравнение:

\[ \frac{\sin(\theta_2)}{\cos(\theta_2)} = \frac{d}{0.5} \]

Обратите внимание, что \( \sin(\theta_2) \) и \( \cos(\theta_2) \) относятся к одному углу \( \theta_2 \). Теперь можем применить тригонометрическую тождественную формулу \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \), чтобы избавиться от \( \cos(\theta_2) \) в уравнении:

\[ \frac{\sin(\theta_2)}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta_2)}} = \frac{d}{0.5} \]

\[ \frac{\sin(\theta_2)}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta_2)}} = \frac{d}{0.5} \]

Теперь можем решить это уравнение и найти \( d \), смещение изображения рыбки относительно нее самой.