Чему равен cos (x), если sin(x) = - √21/5 и 180 градусов < x < 270 градусов?

Letuchiy_Volk_6926

2

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о связи между функциями синуса и косинуса, а также о взаимосвязи углов и значений этих функций в треугольнике.

Мы знаем, что \( \sin(x) = -\dfrac{\sqrt{21}}{5} \). Также, поскольку значение синуса отрицательно, мы можем сказать, что угол \(x\) расположен в третьем квадранте, где значение косинуса положительно.

Используя формулу Пифагора, мы можем найти значение гипотенузы треугольника. Пусть гипотенуза равна \( c \), а катеты равны \( a \) и \( b \):

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Мы знаем, что \( \sin(x) = \dfrac{a}{c} \), а \( \cos(x) = \dfrac{b}{c} \).

Подставляя известные значения, получаем:

\[ \left( -\dfrac{\sqrt{21}}{5} \right)^2 + b^2 = c^2 \]

Упростим:

\[ \dfrac{21}{25} + b^2 = c^2 \]

Теперь найдем значение катета \( b \), используя тот факт, что значение косинуса положительно:

\[ b = c \cdot \cos(x) \]

Заменяя \( c \) на \( \sqrt{\dfrac{21}{25} + b^2} \), получаем:

\[ b = \sqrt{\dfrac{21}{25} + b^2} \cdot \cos(x) \]

Осталось лишь решить уравнение относительно \( b \). Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

\[ b^2 = \left( \sqrt{\dfrac{21}{25} + b^2} \cdot \cos(x) \right)^2 \]

Раскроем скобки:

\[ b^2 = \left( \dfrac{21}{25} + b^2 \right) \cdot \cos^2(x) \]

Распишем квадрат косинуса:

\[ b^2 = \left( \dfrac{21}{25} + b^2 \right) \cdot \left( \cos(x)^2 \right) \]

Подставим значение \( \cos(x)^2 = 1 - \sin(x)^2 \):

\[ b^2 = \left( \dfrac{21}{25} + b^2 \right) \cdot \left( 1 - \left( -\dfrac{\sqrt{21}}{5} \right)^2 \right) \]

Упростим:

\[ b^2 = \left( \dfrac{21}{25} + b^2 \right) \cdot \left( 1 - \dfrac{21}{25} \right) \]

Выполним вычисления:

\[ b^2 = \left( \dfrac{21}{25} + b^2 \right) \cdot \dfrac{4}{25} \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ b^2 = \dfrac{84}{625} + \dfrac{4}{25} \cdot b^2 \]

Упростим уравнение:

\[ b^2 - \dfrac{4}{25} \cdot b^2 = \dfrac{84}{625} \]

\[ \dfrac{21}{25} \cdot b^2 = \dfrac{84}{625} \]

Получаем:

\[ b^2 = \dfrac{84}{625} \cdot \dfrac{25}{21} \]

\[ b^2 = \dfrac{4}{25} \]

Взяв квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем:

\[ b = \dfrac{2}{5} \]

Теперь, используя полученное значение \( b \), мы можем найти значение \(\cos(x)\):

\[ \cos(x) = \dfrac{b}{c} = \dfrac{\frac{2}{5}}{\sqrt{\frac{21}{25} + \left(\frac{2}{5}\right)^2}} \]

Сокращаем дробь:

\[ \cos(x) = \dfrac{2}{5 \cdot \sqrt{\frac{21}{25} + \frac{4}{25}}} \]

\[ \cos(x) = \dfrac{2}{5 \cdot \sqrt{\frac{25}{25}}} \]

\[ \cos(x) = \dfrac{2}{5 \cdot \sqrt{1}} \]

\[ \cos(x) = \dfrac{2}{5} \]

Итак, мы получили, что \( \cos(x) = \dfrac{2}{5} \), когда \( \sin(x) = -\dfrac{\sqrt{21}}{5} \) и угол \(x\) лежит в интервале от 180 до 270 градусов.