Доведіть, що висота AD трикутника ABC дорівнює бісектрисі

Leonid

58

Щоб довести, що висота \(AD\) трикутника \(ABC\) дорівнює бісектрисі, спочатку розглянемо визначення висоти і бісектриси.

Висота трикутника - це перпендикуляр, опущений з вершини трикутника на протилежну сторону. В даному випадку точка \(D\) лежить на стороні \(BC\) і є точкою перетину висоти \(AD\) зі стороною \(BC\).

Бісектриса трикутника - це лінія, яка ділить одну з внутрішніх кутів на дві рівні частини. Також позначимо точку перетину бісектриси зі стороною \(BC\) як точку \(E\).

Для доведення, що \(AD\) дорівнює \(BE\), ми використаємо два важливих факти:

1. Якщо точка \(D\) є середньою точкою сторони \(BC\), то лінія \(AD\) є висотою трикутника \(ABC\).

2. Якщо точка \(E\) лежить на бісектрисі кута \(BAC\), то лінія \(BE\) є бісектрисою трикутника \(ABC\).

Тепер розглянемо ці два факти в поєднанні:

У трикутнику ABC нас цікавить точка \(D\), яка є середньою точкою сторони \(BC\), і точка \(E\), яка лежить на бісектрисі кута \(BAC\). Ми хочемо довести, що \(AD\) дорівнює \(BE\).

Враховуючи перший факт, ми знаємо, що якщо \(D\) - середня точка \(BC\), то \(AD\) є висотою трикутника \(ABC\).

Розглянемо також другий факт: якщо \(E\) - точка, яка лежить на бісектрисі кута \(BAC\), то \(BE\) є бісектрисою трикутника \(ABC\).

Оскільки обидві лінії \(AD\) і \(BE\) є висотою і бісектрисою, відповідно, ми застосуємо теорему про перпендикулярність висоти і бісектриси: вони перпендикулярні до ділянки сторони \(BC\), на якій вони лежать.

Таким чином, ми довели, що лінії \(AD\) і \(BE\) є перпендикулярними до сторони \(BC\) і проходять через точки, які ділять цю сторону в однаковому відношенні. Отже, \(AD\) дорівнює \(BE\), що означає, що висота трикутника \(ABC\) дорівнює бісектрисі.

Таким чином, ми довели, що висота \(AD\) трикутника \(ABC\) дорівнює бісектрисі, використовуючи два факти: першій факт про середню точку сторони \(BC\) і другий факт про точку перетину бісектриси зі стороною \(BC\).