Чему равен объем, полученный при вращении четырехугольника с вершинами А(0:0), В(0:2), С(4:2) и D(1:0) вокруг

Викторович_4681

67

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться формулой для вычисления объема при вращении фигуры вокруг оси.

Формула для вычисления объема при вращении фигуры вокруг оси:
\[V = \pi \int_a^b y^2 dx\]

Перед тем, как найти значения a и b, нужно определить функцию y(x), которая будет описывать нашу фигуру. Для этого нарисуем график исходного четырехугольника на координатной плоскости.

Теперь, для определения функции y(x), мы можем разделить четырехугольник на две части: треугольник АВС и трапецию BCD, зная их координаты вершин.

Поэтому, для треугольника АВС, функция y(x) будет иметь вид:
\[y(x) = 2\]

А для трапеции BCD, функция y(x) будет иметь вид:
\[y(x) = 2 - \frac{2}{4}(x - 4)\]

Теперь у нас есть все необходимые элементы для вычисления объема. Найдем значения a и b, которые представляют собой интервалы, по которым будет происходить интегрирование функций.

Для треугольника АВС, a = 0 и b = 4, потому что треугольник охватывает весь интервал по оси x от 0 до 4.

Для трапеции BCD, a = 4 и b = 1, потому что трапеция охватывает интервал по оси x от 4 до 1.

Теперь мы можем вычислить объем при вращении треугольника АВС и трапеции BCD вокруг оси x, используя формулу для интегрирования.

Для треугольника АВС:
\[\int_0^4 (2)^2 dx = 4\int_0^4 dx = 16\]

Для трапеции BCD:
\[\int_4^1 (2 - \frac{2}{4}(x - 4))^2 dx = \int_4^1 (2 - \frac{1}{2}(x - 4))^2 dx = \int_4^1 (2 - \frac{1}{2}x + 2)^2 dx\]
\[= \int_4^1 (4 - x + 1)^2 dx = \int_4^1 (5 - x)^2 dx = \int_4^1 (x^2 - 10x + 25) dx\]
\[= (\frac{1}{3}x^3 - 5x^2 + 25x)\Big|_4^1 = [\frac{1}{3}(1)^3 - 5(1)^2 + 25(1)] - [\frac{1}{3}(4)^3 - 5(4)^2 + 25(4)]\]
\[= (\frac{1}{3} - 5 + 25) - (\frac{64}{3} - 5\cdot16 + 25\cdot4) = \frac{17}{3} - \frac{176}{3} = -\frac{159}{3}\]

Теперь найдем итоговый объем, сложив вычисленные значения объемов для треугольника АВС и трапеции BCD:
\[V = 16 + (-\frac{159}{3}) = \frac{48 - 159}{3} = -\frac{111}{3} = -37\,(\text{кубических единиц})\]

Таким образом, объем, полученный при вращении четырехугольника вокруг оси x, равен -37 кубических единиц.