Какова вероятность того, что случайно выбранный горшок после обжига окажется без дефектов, если из 75 горшков в среднем

Yaksha_3749

33

Для решения данной задачи, нам потребуется знание теории вероятностей. Мы можем использовать биномиальное распределение для подсчета вероятности бездефектности случайно выбранного горшка.

Биномиальное распределение используется для моделирования случайных экспериментов, где есть только два возможных исхода: успех или неудача, дефект или бездефектность в данном случае. Параметром биномиального распределения являются количество испытаний и вероятность успеха в каждом испытании.

В данной задаче у нас есть 75 горшков и 6 из них имеют дефекты. Значит, вероятность того, что случайно выбранный горшок имеет дефект, равна \( p = \frac{6}{75} \), так как дефект имеется в 6 горшках из общего числа 75.

Соответственно, вероятность бездефектности горшка равна \( q = 1 - p = 1 - \frac{6}{75} = \frac{69}{75} \).

Чтобы найти вероятность бездефектности случайно выбранного горшка, мы можем использовать формулу биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \],

где \( X \) - случайная величина, представляющая количество бездефектных горшков, \( k \) - количество бездефектных горшков, \( n \) - общее количество горшков, \( C_n^k \) - количество сочетаний из \( n \) по \( k \), а \( p^k \) и \( q^{n-k} \) - вероятности бездефектности и дефектности соответственно.

В данной задаче нам нужна вероятность бездефектности, то есть \( P(X = n) \), где \( n \) - количество бездефектных горшков, которое может принимать значения от 0 до 75.

Давайте рассчитаем вероятность бездефектности для каждого значения \( n \) и выберем конечный ответ:

\[
\begin{align*}
P(X = 0) &= C_{75}^0 \cdot \left(\frac{6}{75}\right)^0 \cdot \left(\frac{69}{75}\right)^{75} \\
P(X = 1) &= C_{75}^1 \cdot \left(\frac{6}{75}\right)^1 \cdot \left(\frac{69}{75}\right)^{74} \\
P(X = 2) &= C_{75}^2 \cdot \left(\frac{6}{75}\right)^2 \cdot \left(\frac{69}{75}\right)^{73} \\
& \ \ \vdots \\
P(X = 75) &= C_{75}^{75} \cdot \left(\frac{6}{75}\right)^{75} \cdot \left(\frac{69}{75}\right)^{0} \\
\end{align*}
\]

Теперь, если мы сложим все найденные вероятности, мы получим общую вероятность бездефектности:

\[
P_{\text{бездеф.}} = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + \ldots + P(X = 75)
\]

Мы можем воспользоваться калькулятором или программой для подсчета этой суммы вероятностей или использовать табличные значения биномиального распределения.