Чему равен объем шара, в который вписан куб со стороной

Витальевна

12

Данная задача связана с геометрией и объемами геометрических фигур. Чтобы определить объем шара, в который вписан куб, мы можем использовать следующий подход.

Для начала, давайте определим размеры куба. В условии задачи сказано, что куб имеет сторону. Обозначим длину стороны куба как \(a\).

Теперь, чтобы определить объем шара, в который вписан куб, нам понадобится некоторое знание о связи между кубом и вписанным шаром. В данном случае, мы знаем, что диагональ куба равна диаметру вписанного шара.

Давайте найдем диагональ куба. Применяя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю куба, его стороной и диагональю грани куба, получим:

\[\text{Диагональ куба} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2}\]

Теперь мы знаем, что диагональ куба является диаметром вписанного шара. Чтобы найти радиус вписанного шара, мы должны разделить диагональ куба пополам:

\[\text{Радиус вписанного шара} = \frac{\sqrt{3a^2}}{2}\]

Теперь, когда у нас есть радиус вписанного шара, мы можем найти его объем. Используя формулу для объема шара:

\[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]

подставим значение радиуса:

\[V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3a^2}}{2}\right)^3\]

Упростим данное выражение:

\[V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{3a^2\sqrt{3}}{8}\right)\]

Получим окончательный ответ:

\[V = \frac{\pi a^3\sqrt{3}}{2}\]

Таким образом, объем шара, в который вписан куб со стороной \(a\), равен \(\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{2}\).