Чему равен объем шара, в который вписан куб со стороной

Витальевна

12

Данная задача связана с геометрией и объемами геометрических фигур. Чтобы определить объем шара, в который вписан куб, мы можем использовать следующий подход.

Для начала, давайте определим размеры куба. В условии задачи сказано, что куб имеет сторону. Обозначим длину стороны куба как $a$.

Теперь, чтобы определить объем шара, в который вписан куб, нам понадобится некоторое знание о связи между кубом и вписанным шаром. В данном случае, мы знаем, что диагональ куба равна диаметру вписанного шара.

Давайте найдем диагональ куба. Применяя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю куба, его стороной и диагональю грани куба, получим:

$$\text{Диагональ куба}=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3a^2}$$

Теперь мы знаем, что диагональ куба является диаметром вписанного шара. Чтобы найти радиус вписанного шара, мы должны разделить диагональ куба пополам:

$$\text{Радиус вписанного шара}=\frac{\sqrt{3a^2}}{2}$$

Теперь, когда у нас есть радиус вписанного шара, мы можем найти его объем. Используя формулу для объема шара:

$$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$

подставим значение радиуса:

$$V=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{\sqrt{3a^2}}{2}\right)}^3$$

Упростим данное выражение:

$$V=\frac{4}{3}\pi \left(\frac{3a^2\sqrt{3}}{8}\right)$$

Получим окончательный ответ:

$$V=\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом, объем шара, в который вписан куб со стороной $a$, равен $\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{2}$.