Каково сравнение между выражениями cos25 cos65, cos25 cos165, sin175 sin85, sin25 cos165?

Izumrudnyy_Drakon

4

Для решения задачи мы будем использовать формулы тригонометрии и свойства тригонометрических функций. Давайте рассмотрим каждое выражение по очереди:

1. Выражение \( \cos(25^\circ) \cdot \cos(65^\circ) \)

Для начала, распишем формулу двойного угла для косинуса:

\[ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \]

Применим эту формулу к нашему выражению:

\[ \cos(25^\circ) \cdot \cos(65^\circ) = \frac{1}{2}\left(\cos(40^\circ) + \cos(90^\circ)\right) \]

Мы знаем, что \( \cos(90^\circ) = 0 \), поэтому получаем:

\[ \cos(25^\circ) \cdot \cos(65^\circ) = \frac{1}{2}\cos(40^\circ) \]

Следовательно, ответ на это выражение равен \( \frac{1}{2}\cos(40^\circ) \).

2. Выражение \( \cos(25^\circ) \cdot \cos(165^\circ) \)

Применим снова формулу двойного угла:

\[ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \]

Применим эту формулу к нашему выражению:

\[ \cos(25^\circ) \cdot \cos(165^\circ) = \frac{1}{2}\left(\cos(140^\circ) + \cos(90^\circ)\right) \]

Учитывая, что \( \cos(90^\circ) = 0 \), получаем:

\[ \cos(25^\circ) \cdot \cos(165^\circ) = \frac{1}{2}\cos(140^\circ) \]

Следовательно, ответ на это выражение равен \( \frac{1}{2}\cos(140^\circ) \).

3. Выражение \( \sin(175^\circ) \cdot \sin(85^\circ) \)

Мы можем использовать формулу синуса двойного угла:

\[ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \]

Применим эту формулу:

\[ \sin(175^\circ) \cdot \sin(85^\circ) = \frac{1}{2}\sin(170^\circ) \]

Знаем, что \( \sin(170^\circ) = -\sin(10^\circ) \), получаем:

\[ \sin(175^\circ) \cdot \sin(85^\circ) = -\frac{1}{2}\sin(10^\circ) \]

Следовательно, ответ на это выражение равен \( -\frac{1}{2}\sin(10^\circ) \).

4. Выражение \( \sin(25^\circ) \cdot \cos(165^\circ) \)

Применим формулу синуса разности:

\[ \sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta) \]

Применим эту формулу:

\[ \sin(25^\circ) \cdot \cos(165^\circ) = \frac{1}{2}\left(\sin(-140^\circ) - \sin(140^\circ)\right) \]

Запишем значения синуса угла \( 140^\circ \):

\[ \sin(25^\circ) \cdot \cos(165^\circ) = \frac{1}{2}\left(-\sin(140^\circ) - \sin(140^\circ)\right) \]

Следовательно, ответ на это выражение равен \( -\sin(140^\circ) \).

Таким образом, мы получили ответы на все выражения:

1. \( \cos(25^\circ) \cdot \cos(65^\circ) = \frac{1}{2}\cos(40^\circ) \)
2. \( \cos(25^\circ) \cdot \cos(165^\circ) = \frac{1}{2}\cos(140^\circ) \)
3. \( \sin(175^\circ) \cdot \sin(85^\circ) = -\frac{1}{2}\sin(10^\circ) \)
4. \( \sin(25^\circ) \cdot \cos(165^\circ) = -\sin(140^\circ) \)

Это подробное и обстоятельное решение задачи, включающее использование формул и свойств тригонометрии. Если у вас возникли ещё вопросы, пожалуйста, задавайте.