Чему равен периметр прямоугольника abcd, если на стороне ad отмечена точка к так, что bc = 10, вк = 8 и угол cbk = 30°?

Solnechnyy_Narkoman

44

Первым шагом необходимо понять, что нам дано в задаче.

У нас есть прямоугольник ABCD, где точка K отмечена на стороне AD. Задача состоит в нахождении периметра прямоугольника.

Данные, которые нам уже известны, следующие:
- BC = 10 (это одна из сторон прямоугольника)
- ВK = 8 (это высота прямоугольника, опущенная из точки B на сторону AD)
- Угол CBK = 30° (это угол между стороной BC и высотой ВK)

Теперь давайте разберемся, как мы можем использовать эти данные для нахождения периметра прямоугольника.

Мы знаем, что противоположные стороны прямоугольника равны, так что side BC также равна side AD. Мы можем использовать это свойство для нахождения длины стороны AD.

Так как сторона BC = 10, то сторона AD также равна 10.

Теперь обратимся к углу CBK. Мы можем заметить, что треугольник CBK является прямоугольным треугольником, так как угол CBK = 30°, и один из углов треугольника всегда прямой (90° градусов).

Зная высоту BK (8) и угол CBK (30°), мы можем использовать тригонометрию для нахождения длины стороны CK.

Рассмотрим соотношение тангенса для прямоугольного треугольника CBK:

\[\tan(\angle CBK) = \frac{{BC}}{{BK}}\]

Подставляя известные значения в данное соотношение, получим:

\[\tan(30°) = \frac{{10}}{{8}}\]

Тангенс 30° равен \(\frac{{1}}{{\sqrt{3}}}\), поэтому имеем:

\[\frac{{1}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{10}}{{8}}\]

Чтобы решить это уравнение относительно BC, мы можем умножить обе стороны на 8:

\[8 \cdot \frac{{1}}{{\sqrt{3}}} = 10\]

Перемножая, получаем:

\[\frac{{8}}{{\sqrt{3}}} = 10\]

Теперь, чтобы найти длину стороны CK, вычитаем из стороны BC:

\[CK = BC - BK = 10 - 8 = 2\]

Таким образом, длина стороны CK равна 2.

Наконец, чтобы найти периметр прямоугольника ABCD, мы складываем длины всех сторон:

\[P = AB + BC + CD + DA\]

Заметим, что стороны AB и CD равны AD, поэтому:

\[P = 2 \cdot AD + BC\]

Подставляя известные значения, получим:

\[P = 2 \cdot 10 + 2 = 22\]

Таким образом, периметр прямоугольника ABCD равен 22.