Чему равен периметр прямоугольного треугольника MNQ, если известно, что NF=8, AB=10, и перпендикуляр EF к стороне

Карина

54

Чтобы найти периметр прямоугольного треугольника MNQ, нам необходимо знать длины его сторон. В данной задаче, нам даны следующие данные: NF = 8 (длина стороны NF), AB = 10 (длина стороны AB) и перпендикуляр EF к стороне MN равен...

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, гипотенуза треугольника MNQ является стороной MN. Катетами являются стороны NF и AB.

Теорема Пифагора может быть записана следующим образом:

\(MN^2 = NF^2 + AB^2\)

Мы знаем, что NF = 8 и AB = 10, поэтому мы можем заменить эти значения в уравнение:

\(MN^2 = 8^2 + 10^2\)
\(MN^2 = 64 + 100\)
\(MN^2 = 164\)

Чтобы найти значение MN, мы возьмем квадратный корень от обоих частей уравнения:

\(MN = \sqrt{164}\)

Теперь у нас есть длина стороны MN. Однако, чтобы найти периметр треугольника MNQ, нам также нужно знать длины остальных его сторон. К счастью, нам дано, что EF является перпендикуляром к стороне MN. Перпендикуляры создают прямые углы, поэтому EF является высотой треугольника MNQ и делит его на два прямоугольных треугольника. Таким образом, EF является высотой и для обоих прямоугольных треугольников, а значит, длина его будет равна половине высоты этого треугольника.

Поскольку NF является одной из катетов, а EF - высотой, то площадь одного из прямоугольных треугольников выражается следующим образом:

\(S_1 = \frac{NF \cdot EF}{2}\)

Аналогично, второй прямоугольный треугольник имеет площадь:

\(S_2 = \frac{AB \cdot EF}{2}\)

Сумма площадей этих двух треугольников равняется площади всего прямоугольного треугольника, которая выражается следующим образом:

\(S_{MNQ} = S_1 + S_2\)

Подставляем значения:

\(S_{MNQ} = \frac{NF \cdot EF}{2} + \frac{AB \cdot EF}{2}\)

\(S_{MNQ} = \frac{8 \cdot EF}{2} + \frac{10 \cdot EF}{2}\)

\(S_{MNQ} = \frac{8EF + 10EF}{2}\)

\(S_{MNQ} = \frac{18EF}{2}\)

\(S_{MNQ} = 9EF\)

Теперь, когда у нас есть площадь треугольника, мы можем найти высоту EF. Площадь прямоугольного треугольника MNQ также может быть выражена через его стороны и высоту по формуле:

\(S_{MNQ} = \frac{MN \cdot EF}{2}\)

Подставляем значения:

\(9EF = \frac{MN \cdot EF}{2}\)

Упрощаем:

\(18EF = MN \cdot EF\)

Сокращаем на \(EF\):

\(18 = MN\)

Таким образом, мы получаем значение длины MN, а следовательно и периметр прямоугольного треугольника MNQ равен 18.