Чему равен радиус окружности, описанной вокруг данного правильного многоугольника с радиусом вписанной окружности

Ярость

62

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать некоторые свойства правильных многоугольников и окружностей, а также формулы для нахождения радиуса описанной и вписанной окружностей.

Дано, что радиус вписанной окружности равен 12 см. Для правильного многоугольника, радиус вписанной окружности представляет собой расстояние от центра многоугольника до одной из его вершин.

Согласно свойству правильного многоугольника, апофема \(r_a\) (перпендикуляр, опущенный из центра многоугольника на одну из его сторон) связана со стороной многоугольника \(a\) следующим образом:
\[r_a = \frac{a}{2 \cdot tg(\frac{\pi}{n})}\]
где \(n\) - количество сторон многоугольника.

В нашем случае, сторона многоугольника \(a\) равна \(8\sqrt{3}\) см. Подставим это значение в формулу и получим:
\[r_a = \frac{8\sqrt{3}}{2 \cdot tg(\frac{\pi}{n})}\]

Мы можем найти количество сторон многоугольника, обозначим его как \(n\). Для этого, нам понадобится использовать формулу, связывающую радиус вписанной окружности и количество сторон многоугольника:
\[r_a = \frac{a}{2 \cdot tg(\frac{\pi}{n})}\]
где \(r_a\) - радиус вписанной окружности.

Подставим значение вписанного радиуса, равного 12 см, и решим уравнение:
\[12 = \frac{8\sqrt{3}}{2 \cdot tg(\frac{\pi}{n})}\]

Для упрощения, возьмем тангенс от угла \(\frac{\pi}{n}\) и обозначим его как \(x\). Тогда, уравнение примет вид:
\[12 = \frac{8\sqrt{3}}{2 \cdot x}\]
\[x = \frac{8\sqrt{3}}{24}\]
\[x = \frac{\sqrt{3}}{3}\]

Теперь мы можем выразить тангенс угла \(\frac{\pi}{n}\), используя полученное значение \(x\).
\[tg(\frac{\pi}{n}) = \frac{\sqrt{3}}{3}\]

Заметим, что \(\frac{\pi}{n} = arctg(\frac{\sqrt{3}}{3})\), так как \(\frac{\pi}{n}\) - это значение угла, тангенс которого равен \(\frac{\sqrt{3}}{3}\).

Теперь, мы можем найти конечное значение \(n\) с использованием арктангенса:
\[arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{n}\]
\[n = \frac{\pi}{arctg(\frac{\sqrt{3}}{3})}\]
\[n \approx 6\]

Итак, радиус окружности, описанной вокруг данного правильного многоугольника будет равен 12 см, а количество сторон в многоугольнике будет равно 6.