Чему равен радиус внеписанной окружности, касающейся гипотенузы, в прямоугольном треугольнике АВС, если известно

Skorostnaya_Babochka

45

Для решения данной задачи необходимо использовать свойства треугольников, а именно свойство вписанных и вневписанных окружностей.

В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB и катетами AC и BC мы имеем следующую ситуацию: мы ищем радиус внеписанной окружности, которая касается гипотенузы AB.

Для нахождения радиуса внеписанной окружности треугольника нам понадобятся некоторые свойства таких окружностей. Одним из таких свойств является то, что касательная, проведенная из точки касания окружности с треугольником, делит длины секущей на две равные части.

Будем обозначать точку касания внеписанной окружности с гипотенузой AB через D. Пусть радиус этой окружности равен r.

Из условия задачи мы знаем, что AB = C, AC = B и BC = A. Также известно, что AD и BD являются касательными к окружности.

Рассмотрим треугольник ABD. По свойству внешнего угла треугольника имеем: A + B = 90°.

Также по свойству касательных имеем: AD = r и BD = r.

Рассмотрим треугольник ABC. Из условия задачи известно, что A + C = 90°. Также из свойства вписанного угла треугольника имеем: A + B + C = 180°.

Используя данные свойства, можем написать следующую систему уравнений:

A + B = 90°,
A + C = 90°,
A + B + C = 180°.

Решая эту систему уравнений, находим, что A = 60°, B = 30° и C = 90°.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Так как A + C = 90°, то угол ACD также равен 90°.

Также по свойству вписанного угла имеем: ACD = A / 2 = 30°.

Теперь мы можем использовать свойство касательных, чтобы найти длину CD. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник ACD.

Так как ACD = 90°, то длина CD является высотой этого треугольника, опущенной из вершины C.

Из свойств прямоугольного треугольника можем записать следующее:

CD = AC * sin(ACD).

Подставляя значения AC = B = r и ACD = 30°, получаем:

CD = r * sin(30°).

Значение sin(30°) можно найти в таблице значений основных тригонометрических функций. Известно, что sin(30°) = 0,5.

Таким образом, получаем:

CD = r * 0,5 = 0,5r.

Так как AC = CD = r, то имеем:

r = 0,5r.

Решая это уравнение, находим, что r = 0.

Ответ: радиус внеписанной окружности, касающейся гипотенузы, в прямоугольном треугольнике АВС, равен 0.