Чему равен радиус вписанной окружности в равнобедренном треугольнике, если площадь треугольника равна 1680, а точка

Viktoriya

18

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике две стороны равны друг другу, и два угла при основании также равны. Обозначим радиус вписанной окружности как \(r\).

Исходя из условия, площадь треугольника равна 1680. Формула для площади треугольника выражается через его основание и высоту, и мы можем использовать эту формулу для решения данной задачи.

Пусть \(a\) обозначает основание равнобедренного треугольника, а \(h\) - высоту, опущенную из вершины треугольника на это основание.

Так как площадь треугольника равна \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot h\), по условию мы знаем, что \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot h = 1680\).

Далее, нам дано, что точка касания окружности делит боковую сторону равнобедренного треугольника в отношении 25:12, начиная от вершины треугольника. Пусть первая часть этой стороны равна 25x, а вторая часть - 12x.

В равнобедренном треугольнике основание равно сумме двух частей одного основания \(a = 25x + 12x = 37x\).

Затем найдем высоту \(h\) треугольника. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половиной основания треугольника, высотой и радиусом вписанной окружности.

Так как радиус окружности \(r\) является высотой прямоугольного треугольника (он перпендикулярен к основанию треугольника), а половина основания треугольника равна \(\frac{1}{2} \cdot (25x + 12x) = \frac{1}{2} \cdot 37x = 18.5x\), применим теорему Пифагора:

\[\begin{aligned}
r^2 + (18.5x)^2 &= (37x)^2 \\
r^2 + 342.25x^2 &= 1369x^2 \\
r^2 &= 1369x^2 - 342.25x^2 \\
r^2 &= 1026.75x^2 \\
\end{aligned}\]

Теперь у нас есть выражение для радиуса вписанной окружности через \(x\). Чтобы найти \(x\), мы можем использовать соотношение \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot h = 1680\), которое мы вывели ранее.

Подставим \(a = 37x\) и решим уравнение:

\[\frac{1}{2} \cdot (37x) \cdot h = 1680\]
\[18.5x \cdot h = 1680\]
\[h = \frac{1680}{18.5x}\]

Теперь мы можем заменить \(h\) этим выражением в формуле для радиуса окружности:

\[r^2 = 1026.75x^2\]
\[r^2 = 1026.75 \cdot \left(\frac{1680}{18.5x}\right)^2\]

Теперь у нас есть формула для нахождения квадрата радиуса вписанной окружности \(r^2\) через \(x\). Решим это уравнение, чтобы найти значение \(x\) и, соответственно, радиус вписанной окружности \(r\).