Чему равна апофема правильной пирамиды sabcd, если радиус описанной около основания окружности равен 3? Какой косинус

Morskoy_Shtorm

20

Перед тем как приступить к решению задачи, давайте разберемся в определениях, чтобы быть уверенными, что мы понимаем условия задачи полностью.

Апофема правильной пирамиды - это отрезок, проведенный из вершины пирамиды до центра основания, и он перпендикулярен к плоскости основания пирамиды.

Основание пирамиды в данной задаче образует правильный многоугольник.

Теперь перейдем к самому решению задачи.

Мы знаем, что радиус описанной около основания окружности равен 3. Поскольку эта окружность описывает правильный многоугольник, то все ее стороны равны и равны радиусу. То есть каждая сторона многоугольника равна 3.

Так как основание многоугольника является правильным, то у него равносторонний треугольник. Рисуем равносторонний треугольник и проводим апофему из вершины треугольника до его центра:

\[
\begin{array}{c}
\mathrm{s} \\
\mathrm{a} \text{ – вершина пирамиды} \\
\mathrm{b} \text{ – центр описанной окружности} \\
\mathrm{c} \text{ и } \mathrm{d} \text{ – определенные точки на стороне многоугольника}
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{cc}
\qquad \mathrm{c} & \quad \mathrm{d} \\
\qquad | \qquad \quad | \\
\qquad | \qquad \quad | \\
\qquad | \qquad \quad | \\
\qquad \qquad \mathrm{*} \\
\qquad | \qquad \quad | \\
\qquad | \qquad \quad | \\
\qquad | \qquad \quad | \\
\qquad \mathrm{s}
\end{array}
\]

Теперь мы видим, что апофема является гипотенузой прямоугольного треугольника, в котором один катет равен радиусу описанной около основания окружности и равен 3, а другой катет является радиусом вписанной окружности (так как он проведен из вершины и перпендикулярен к стороне), и он известно что равен \(R\), где \(R\) – радиус вписанной окружности.

\\

Обозначим апофему буквой \(h\).

Вспомним некоторые связи в прямоугольном треугольнике:

\(\cos(\text{angle}) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}\)

В данном случае adjacent соответствует радиусу вписанной окружности \(R\), а hypotenuse – апофеме \(h\).

Применяя эту формулу, получаем:

\(\cos(\text{угла}) = \frac{R}{h}\)

Таким образом, мы доказали, что косинус двугранного угла при основании пирамиды равен \(\frac{R}{h}\).

Теперь нам нужно найти значение апофемы \(h\).

Для этого воспользуемся свойствами правильного треугольника. Внутренний угол правильного треугольника равен 60 градусам.

Применив теорему косинусов к прямоугольному треугольнику, где гипотенуза равна \(h\), а катеты равны \(3\) и \(R\), получаем:

\(3^2 = R^2 + h^2\)

Подставив данное уравнение в формулу для косинуса, получаем:

\(\cos(\text{угла}) = \frac{R}{\sqrt{3^2 - R^2}}\)

Остается только решить получившееся уравнение относительно \(R\).

Окончательный ответ будет зависеть от решения этого уравнения.

Пожалуйста, дайте мне знать, если у вас есть другие вопросы.