Какой размер у меньшего катета прямоугольного треугольника, если площадь равна 5,5 и один из катетов больше другого

Валентинович

24

Конечно, я могу помочь вам с задачей. Давайте найдем решение.

Пусть \(x\) - это размер меньшего катета. Тогда другой катет будет иметь размер \(x + \frac{2}{3}\).

Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника равна 5,5. Формула для вычисления площади треугольника:

\[ S = \frac{1}{2}ab, \]

где \(a\) и \(b\) - это катеты треугольника.

Подставляя значения в формулу, получим:

\[ 5,5 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + \frac{2}{3}). \]

Чтобы решить это уравнение, упростим его. Умножим коэффициенты и раскроем скобки:

\[ 5,5 = \frac{1}{2} \cdot x^2 + \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{2}{3}. \]

Приведем дробь к общему знаменателю:

\[ 5,5 = \frac{1}{2} \cdot x^2 + \frac{1}{3} \cdot x. \]

Теперь умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от дробей:

\[ 33 = 3x^2 + 2x. \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Приведем его к стандартному виду, чтобы решить его:

\[ 3x^2 + 2x - 33 = 0. \]

Это уравнение можно решить, используя факторизацию, квадратные корни или формулу для дискриминанта. Я воспользуюсь формулой для дискриминанта (D):

\[ D = b^2 - 4ac. \]

В нашем случае \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = -33\), поэтому:

\[ D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-33) = 4 + 396 = 400. \]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два действительных корня. Далее, используем формулу квадратного корня:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

Подставляя значения, получим:

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 3}. \]

Упростим это выражение:

\[ x = \frac{-2 \pm 20}{6}. \]

Разделим числитель на знаменатель:

\[ x_1 = \frac{-2 + 20}{6} = \frac{18}{6} = 3, \]

\[ x_2 = \frac{-2 - 20}{6} = \frac{-22}{6} = -\frac{11}{3}. \]

Исходя из условия задачи, мы ищем размер меньшего катета, так что \(x = 3\) является нашим ответом.

Таким образом, размер меньшего катета прямоугольного треугольника равен 3.