Чему равна апофема правильной треугольной пирамиды, образующая угол 30∘ с высотой пирамиды? Найдите площадь сферы

Звонкий_Эльф

3

Для решения этой задачи нам необходимо использовать геометрические свойства правильной треугольной пирамиды и наши знания о сферах.

1) Чему равна апофема правильной треугольной пирамиды, образующая угол 30∘ с высотой пирамиды?

Правильная треугольная пирамида имеет основание в форме равностороннего треугольника, где каждый угол основания равен 60∘.

Чтобы найти апофему пирамиды, мы можем использовать соотношение между апофемой и радиусом описанной окружности правильного треугольника. В данном случае, радиус описанной окружности равен половине стороны основания треугольной пирамиды.

Пусть сторона основания треугольника равняется \(a\). Тогда диаметр описанной окружности будет равен \(a\), а радиус окружности будет равен \(\frac{a}{2}\).

У нас имеется прямоугольный треугольник, где максимальный угол составляет 90∘, а угол между высотой и апофемой пирамиды составляет 30∘.

Применим тригонометрическое соотношение тангенса:
\(\tan(30^\circ) = \frac{{\text{{опposite}}}}{{\text{{adjacent}}}}\).

В данном случае, противолежащий катет нашего угла 30∘ является радиусом описанной окружности (опять же, это половина стороны основания треугольника), а прилежащим катетом является высота пирамиды.

\(\tan(30^\circ) = \frac{{\text{{радиус}}}}{{\text{{высота}}}}\)

\(\sqrt{3} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\text{{высота}}}}\)

Мы можем решить это уравнение относительно высоты:
\(\text{{высота}} = \frac{a}{2\sqrt{3}}\).

Таким образом, апофема правильной треугольной пирамиды равна \(\frac{a}{2\sqrt{3}}\).

2) Найдите площадь сферы, которая вписана в эту пирамиду.

Площадь сферы можно найти, используя формулу площади поверхности сферы:

\(S = 4\pi r^2\),

где \(r\) - радиус сферы.

В данном случае, радиус сферы является высотой пирамиды, найденной ранее: \(r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\).

Подставим это значение в формулу площади поверхности сферы:

\(S = 4\pi \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2\)