Чему равна длина диагонали параллелепипеда, если меньшая сторона его основания составляет 9 м, а высота равна 12

Скорпион

16

Давайте рассмотрим эту задачу пошагово:

Шаг 1: Найдем длину боковой грани параллелепипеда.
Поскольку меньшая сторона основания параллелепипеда составляет 9 м, это означает, что одна из боковых граней является прямоугольником со сторонами 9 м и высотой в 12 м. Зная, что противоположные стороны прямоугольника равны, мы можем применить теорему Пифагора для нахождения длины боковой грани:

\[
a^2 + b^2 = c^2,
\]

где \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника, соответствующие сторонам прямоугольника, \(c\) - гипотенуза, которая является диагональю боковой грани параллелепипеда.

Применяя теорему Пифагора, получаем:

\[
9^2 + 12^2 = c^2.
\]

Вычислим:

\[
81 + 144 = c^2,
\]

\[
225 = c^2.
\]

Таким образом, получаем, что \(c = \sqrt{225}\), что равно 15. То есть, длина боковой грани параллелепипеда составляет 15 м.

Шаг 2: Найдем длину диагонали параллелепипеда.
Дано, что диагональ образует угол 30° с меньшей боковой гранью. Поскольку угол известен, мы можем использовать тригонометрию для определения длины диагонали.

В этом случае, мы знаем, что меньшая боковая грань и диагональ образуют угол 30°, поэтому мы можем использовать тригонометрическую функцию косинус:

\[
\cos(30°) = \frac{\text{прилегающий катет}}{\text{гипотенуза}}.
\]

Для нашего случая, прилегающий катет - это меньшая сторона основания параллелепипеда, то есть, 9 м, и гипотенузой является длина диагонали. Подставим значения и решим уравнение:

\[
\frac{9}{c} = \cos(30°).
\]

Выразим \(c\):

\[
c = \frac{9}{\cos(30°)}.
\]

Вычислим:

\[
c = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{3}}.
\]

Для удобства в выражении можно умножить числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):

\[
c = \frac{18}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}.
\]

Таким образом, длина диагонали параллелепипеда составляет 6\(\sqrt{3}\) метров.

Итак, ответом на задачу является: длина диагонали параллелепипеда равна 6\(\sqrt{3}\) метров.