Чему равна длина диагонали ВД прямоугольной трапеции АВСД, если угол ВАС равен 45°, а меньшее основание равно 9 корень?

Yaschik

4

Для решения этой задачи нам понадобятся формулы и свойства прямоугольных трапеций. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Постановка задачи
У нас есть прямоугольная трапеция АВСД, где угол ВАС равен 45°, а меньшее основание равно 9 корень.

Шаг 2: Построение
Для наглядности построим прямоугольную трапецию. Нарисуем отрезки AB, BC, CD и DA, где AB - меньшее основание, а CD - большее основание. Проведем также диагонали AC и BD.

Шаг 3: Свойства прямоугольной трапеции
Свойства:
1) Диагонали прямоугольной трапеции равны по длине.
2) Диагональ трапеции делит ее на два прямоугольных треугольника.

Шаг 4: Нахождение длины диагонали
Для нахождения длины диагонали ВD (представлена с точками) воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ВАD.

Так как угол ВАС равен 45°, то угол ВАD также равен 45°, так как AD - это биссектриса угла ВАС.

Теперь, чтобы применить теорему Пифагора, нам необходимо знать длины сторон прямоугольного треугольника ВАD.

Шаг 5: Нахождение длин сторон прямоугольного треугольника
Меньшее основание, AB, равно 9 корень.

Если угол ВАС равен 45°, мы можем использовать тригонометрический знак, чтобы выразить остальные сторонки.
Давайте обозначим сторону АD как h.

Используя тригонометрическое соотношение в прямоугольном треугольнике ВАС, получаем:
\[ \cos(45°) = \frac{AB}{AD} = \frac{9\sqrt{2}}{h} \]
Упростим это соотношение:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{h} \]
Перекрестно умножим и решим уравнение:
\[ h = 9 \]

Теперь у нас есть длины сторон прямоугольного треугольника: AB = 9 корень и AD = 9.

Шаг 6: Применение теоремы Пифагора
Теперь, используя теорему Пифагора для треугольника ВАD, мы можем найти длину стороны ВD.
Теорема Пифагора гласит:
\[ BD^2 = BA^2 + AD^2 \]

Подставляем известные значения:
\[ BD^2 = (9\sqrt{2})^2 + 9^2 \]
\[ BD^2 = 162 + 81 \]
\[ BD^2 = 243 \]

Извлекаем квадратный корень с обеих сторон:
\[ BD = \sqrt{243} \]

Упростим:
\[ BD = 9\sqrt{3} \]

Таким образом, длина диагонали ВД прямоугольной трапеции АВСД равна 9\(\sqrt{3}\).