Как найти площадь сечения, которое образуется плоскостью, проходящей через ребро АВ правильного тетраэдра и делящее

Парящая_Фея

45

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Для начала, нам нужно понять, как выглядит данный тетраэдр и какие известные нам данные у нас есть. В задаче сказано, что ребро АВ делится плоскостью в отношении 1:3 и параллельно ребру ВС. Нам также известно, что этот тетраэдр правильный.

Так как тетраэдр правильный, все его ребра и грани равны друг другу. Поэтому, если мы найдем длину одного из ребер, то сможем найти и длину остальных ребер тетраэдра.

Давайте обозначим длину ребра АВ, которую мы ищем, как $x$. Поскольку плоскость параллельна ребру ВС, то длина ребра ВС равна $3x$ (так как ребро ВС делится в отношении 1:3).

Теперь у нас есть все данные, чтобы решить задачу. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины ребра АС (предполагая, что А и С - соседние вершины тетраэдра, а В - вершина напротив ребра АВ).

Воспользуемся формулой теоремы Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$

Так как АВ и ВС - два из трех ребер тетраэдра, то мы можем их выразить через $x$:

$AB=x$
$BC=3x$

Подставим эти значения в формулу:

$A{C}^2=x^2+(3x{)}^2$
$A{C}^2=x^2+9x^2$
$A{C}^2=10x^2$

Чтобы найти площадь сечения, нам нужно выразить длину ребра АС через $x$. Для этого найдем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

$AC=\sqrt{10x^2}$

Теперь, чтобы найти площадь сечения (площадь треугольника), нам нужно умножить длину ребра АС на половину высоты этого треугольника. Поскольку нам не дана высота, мы можем использовать формулу для вычисления высоты треугольника: $h=\frac{\sqrt{3}}{2}\times AB$ (в данном случае это $h=\frac{\sqrt{3}}{2}\times x$).

Теперь, у нас есть все данные, чтобы вычислить площадь сечения. Площадь треугольника равна:

$S=\frac{1}{2}\times AC\times h$
$S=\frac{1}{2}\times \sqrt{10x^2}\times (\frac{\sqrt{3}}{2}\times x)$
$S=\frac{\sqrt{30}}{4}\times x^2$

И это и есть окончательный ответ. Площадь сечения, образованного плоскостью, проходящей через ребро АВ, делит это ребро в отношении 1:3 и параллельно ребру ВС, равна $\frac{\sqrt{30}}{4}\times x^2$, где $x$ - длина ребра АВ.