Как найти площадь сечения, которое образуется плоскостью, проходящей через ребро АВ правильного тетраэдра и делящее

Парящая_Фея

45

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Для начала, нам нужно понять, как выглядит данный тетраэдр и какие известные нам данные у нас есть. В задаче сказано, что ребро АВ делится плоскостью в отношении 1:3 и параллельно ребру ВС. Нам также известно, что этот тетраэдр правильный.

Так как тетраэдр правильный, все его ребра и грани равны друг другу. Поэтому, если мы найдем длину одного из ребер, то сможем найти и длину остальных ребер тетраэдра.

Давайте обозначим длину ребра АВ, которую мы ищем, как \(x\). Поскольку плоскость параллельна ребру ВС, то длина ребра ВС равна \(3x\) (так как ребро ВС делится в отношении 1:3).

Теперь у нас есть все данные, чтобы решить задачу. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины ребра АС (предполагая, что А и С - соседние вершины тетраэдра, а В - вершина напротив ребра АВ).

Воспользуемся формулой теоремы Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

\(AC^2 = AB^2 + BC^2 \)

Так как АВ и ВС - два из трех ребер тетраэдра, то мы можем их выразить через \(x\):

\(AB = x\)
\(BC = 3x\)

Подставим эти значения в формулу:

\(AC^2 = x^2 + (3x)^2 \)
\(AC^2 = x^2 + 9x^2 \)
\(AC^2 = 10x^2 \)

Чтобы найти площадь сечения, нам нужно выразить длину ребра АС через \(x\). Для этого найдем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\(AC = \sqrt{10x^2} \)

Теперь, чтобы найти площадь сечения (площадь треугольника), нам нужно умножить длину ребра АС на половину высоты этого треугольника. Поскольку нам не дана высота, мы можем использовать формулу для вычисления высоты треугольника: \(h = \frac{{\sqrt{3}}}{2} \times AB\) (в данном случае это \(h = \frac{{\sqrt{3}}}{2} \times x\)).

Теперь, у нас есть все данные, чтобы вычислить площадь сечения. Площадь треугольника равна:

\(S = \frac{1}{2} \times AC \times h \)
\(S = \frac{1}{2} \times \sqrt{10x^2} \times (\frac{{\sqrt{3}}}{2} \times x) \)
\(S = \frac{\sqrt{30}}{4} \times x^2 \)

И это и есть окончательный ответ. Площадь сечения, образованного плоскостью, проходящей через ребро АВ, делит это ребро в отношении 1:3 и параллельно ребру ВС, равна \(\frac{\sqrt{30}}{4} \times x^2\), где \(x\) - длина ребра АВ.