Чему равна длина хорды bc, если расстояние от ее середины до диаметра ac составляет 3 см, а угол bac равен 30 градусов?

Солнечный_Шарм

64

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о геометрии окружности и тригонометрии. Давайте разобьем решение на несколько шагов:

Шаг 1: Построение рисунка
Начнем с построения окружности с центром в точке A и диаметром AC. Затем проведем хорду BC так, чтобы она пересекала диаметр AC в точке D. Убедитесь, что ваш рисунок соответствует условию задачи.

Шаг 2: Определение свойств треугольника
Обратите внимание на треугольник BAC. У нас есть информация, что угол BAC равен 30 градусам. Заметим также, что хорда BC является основанием равнобедренного треугольника BDC. Это свойство равнобедренного треугольника позволит нам использовать теорему синусов для вычисления длины хорды BC.

Шаг 3: Применение теоремы синусов
Теорема синусов гласит: \[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]
где a, b, c - стороны треугольника, A, B, C - соответствующие им углы.

В нашем случае, хорда BC является стороной треугольника BDC, угол BDC равен 90 градусам, угол BAC равен 30 градусам, а длина AC равна двойной длине радиуса окружности. Пусть длина радиуса окружности будет обозначена как r.

Тогда по теореме синусов для треугольника BDC:
\[\frac{BC}{\sin BDC} = \frac{BD}{\sin BCD} = \frac{DC}{\sin CBD}\]

Шаг 4: Нахождение значений
Угол BCD является смежным с углом BAC и, следовательно, равен 30 градусам. Так как угол BDC прямой, то его синус равен 1.

Заметим также, что BD и DC равны между собой, так как точка D является серединой хорды BC.

Исходя из этого, мы можем записать уравнение:
\[\frac{BC}{1} = \frac{BD}{\sin 30^\circ}\]
\[\frac{BC}{1} = \frac{\frac{AC}{2}}{\frac{1}{2}}\]
\[\frac{BC}{1} = \frac{AC}{2}\]

Шаг 5: Вычисление значения
Мы знаем, что расстояние от середины хорды BC до диаметра AC составляет 3 см, следовательно, BD = 3 см.

Подставим это значение в наше уравнение:
\[\frac{BC}{1} = \frac{AC}{2}\]
\[\frac{BC}{1} = \frac{2r}{2}\]
\[\frac{BC}{1} = r\]

Таким образом, длина хорды BC равна длине радиуса окружности r.

Подводя итог: Длина хорды BC равна длине радиуса окружности.