Чему равна длина отрезка АК в треугольнике АВС, если точка К находится на стороне ВС, АВ равно 3 см, АС равно 9

Aleksandr

25

Для решения данной задачи, мы можем использовать теорему косинусов. По этой теореме, сумма квадратов двух сторон треугольника равна удвоенному произведению этих сторон на косинус между ними.

Мы знаем, что стороны АВ и АС равны 3 см и 9 см соответственно, и угол ВАС равен 120 градусов.

Для начала, найдем длину стороны ВС с помощью теоремы косинусов:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)
\]

Подставляя значения:

\[
BC^2 = 3^2 + 9^2 - 2 \cdot 3 \cdot 9 \cdot \cos(120^\circ)
\]

Упрощаем:

\[
BC^2 = 9 + 81 - 54 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 90
\]

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину стороны ВС:

\[
BC = \sqrt{90} = 3 \sqrt{10}
\]

Теперь, нам нужно найти длину отрезка АК. Заметим, что треугольник ABC - равносторонний треугольник, так как две его стороны равны. Следовательно, угол ВАК будет равен 60 градусам.

Мы можем использовать теорему косинусов еще раз, чтобы найти значение отрезка АК:

\[
AK^2 = AB^2 + BK^2 - 2 \cdot AB \cdot BK \cdot \cos(\angle BAK)
\]

Мы знаем, что сторона АВ равна 3 см, сторона ВС равна \(3\sqrt{10}\) см, и угол ВАК равен 60 градусов.

\[
AK^2 = 3^2 + (3\sqrt{10})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3\sqrt{10} \cdot \cos(60^\circ)
\]

Упрощаем:

\[
AK^2 = 9 + 90 - 18\sqrt{10} \cdot \frac{1}{2} = 99 - 9\sqrt{10}
\]

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину отрезка АК:

\[
AK = \sqrt{99-9\sqrt{10}}
\]

Таким образом, длина отрезка АК в треугольнике АВС равна \(\sqrt{99-9\sqrt{10}}\) см.