Чему равна длина стороны правильного четырехугольника, описанного вокруг той же окружности, в которую вписан правильный

Raduzhnyy_Sumrak

4

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание о свойствах правильных многоугольников и формулах для нахождения их сторон.

Давайте начнем с правильного треугольника, вписанного в окружность. Мы знаем, что внутри окружности угол при основании правильного треугольника равен 120 градусам. Также известно, что угол в центре окружности, образованный стороной треугольника и радиусом окружности, равен половине угла при основании. Следовательно, угол в центре равен \(\frac{120}{2} = 60\) градусов.

По свойству правильных треугольников, все его стороны равны между собой. Пусть длина стороны равна \(a\). Мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти значение стороны.

В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом окружности, половиной стороны треугольника и высотой, мы можем использовать тангенс угла \(60\) градусов, чтобы найти \(a\):

\[\tan(60) = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{4\sqrt{3}}{2}}}\]

Упростим эту формулу:

\[\frac{{\sqrt{3}}}{3} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{2\sqrt{3}}}\]

\[2\sqrt{3} \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{3} = \frac{{a}}{2}\]

\[\sqrt{3} = \frac{{a}}{2}\]

Чтобы найти значение \(a\), умножим обе стороны на \(2\):

\[\sqrt{3} \cdot 2 = a\]

\[2\sqrt{3} = a\]

Итак, длина стороны правильного треугольника равна \(2\sqrt{3}\).

Теперь перейдем к правильному четырехугольнику, описанному вокруг той же окружности. В нем сторона равна \(a\), и угол между диагональю и стороной равен 90 градусам.

Мы можем применить теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному стороной четырехугольника, половиной диагонали четырехугольника и радиусом окружности:

\[a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + r^2\]

Здесь \(r\) - это радиус окружности.

Зная, что радиус окружности равен половине длины диагонали правильного треугольника, мы можем заменить \(r\) на \(\frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\):

\[a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + (\sqrt{3})^2\]

\[a^2 = \frac{a^2}{4} + 3\]

Умножим обе стороны уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:

\[4a^2 = a^2 + 12\]

\[3a^2 = 12\]

Теперь поделим обе стороны на 3, чтобы найти значение \(a^2\):

\[a^2 = \frac{12}{3}\]

\[a^2 = 4\]

Чтобы найти значение \(a\), возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[a = \sqrt{4}\]

\[a = 2\]

Итак, длина стороны правильного четырехугольника, описанного вокруг той же окружности, в которую вписан правильный треугольник с длиной стороны равной \(4\sqrt{3}\), равна 2.

Надеюсь, это пошаговое решение поможет вам понять задачу и получить верный ответ.