Чему равна площадь вписанного в окружность прямоугольного треугольника с углом 60 градусов, если радиус окружности
Чему равна площадь вписанного в окружность прямоугольного треугольника с углом 60 градусов, если радиус окружности равен 2корень3 см?
Артемович_5022 5
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, вписанный в окружность радиусом \(2\sqrt{3}\), где угол между катетами треугольника равен 60 градусов.Давайте обозначим точку касания окружности с гипотенузой треугольника как D. Также обозначим середину гипотенузы как E.
Поскольку треугольник ABC прямоугольный, то его гипотенуза BC будет диаметром окружности. Это значит, что BD будет равен радиусу окружности, то есть \(2\sqrt{3}\).
Также у нас имеется прямоугольный треугольник BDE, в котором угол BDE равен 30 градусам (половина угла в 60 градусов). Из этого следует, что треугольник BDE является 30-60-90 треугольником.
В 30-60-90 треугольнике отношение длины стороны напротив угла 30 градусов к радиусу окружности равно \(\sqrt{3} : 1\). Это означает, что DE будет равно \(\frac{1}{2}\) от BD, то есть \(2\).
Теперь мы знаем, что ABDE является прямоугольным трапецией, где стороны DE и AB параллельны и DE равна 2, а AB равна 2BD, то есть \(4\sqrt{3}\).
Таким образом, площадь вписанного в окружность прямоугольного треугольника равна площади трапеции ABDE, которую мы можем вычислить по формуле для площади трапеции: \(\frac{сумма\_оснований \times высота}{2}\).
Подставляя известные значения, мы получаем: \(\frac{2 + 4\sqrt{3}}{2} \times 2 = 2 + 4\sqrt{3}\).
Таким образом, площадь вписанного в окружность прямоугольного треугольника равна \(2 + 4\sqrt{3}\).