Яку сторону квадрата справедливо знайти, якщо відстань від точки K до площини квадрата становить 12 см, а відстань

Snegurochka_9421

38

Давайте решим эту задачу пошагово. Итак, у нас есть квадрат с неизвестной стороной, и точка K, которая находится на расстоянии 12 см от плоскости этого квадрата. Также нам известно, что точка K находится на расстоянии от сторон квадрата.

Для начала, обозначим сторону квадрата за \(x\). Мы можем представить точку K, как точку на пути перпендикулярном к плоскости квадрата. Давайте нарисуем это:
\[
\begin{array}{cccccc}
& & A & & & \\
& & | & & & \\
& & | & & & \\
& & | & & & \\
B & \rightarrow & K & \rightarrow & C & \\
& & | & & & \\
& & | & & & \\
& & | & & & \\
& & D & & & \\
\end{array}
\]
Здесь точка K находится на пути, перпендикулярном к плоскости квадрата. Точки A, B, C и D обозначают вершины квадрата.

Так как расстояние от точки K до плоскости квадрата равно 12 см, то расстояние от точки K до стороны квадрата равно половине длины стороны квадрата. Пусть \(d\) обозначает это расстояние. Таким образом, \(d = \frac{x}{2}\).

Теперь, давайте рассмотрим прямоугольный треугольник BKC.

Мы знаем, что расстояние от точки K до стороны квадрата равно \(d\). Также сторона квадрата образует прямый угол с плоскостью квадрата. Это означает, что у нас есть два прямых угла в прямоугольном треугольнике BKC.

С помощью теоремы Пифагора для прямоугольных треугольников, мы можем записать:
\[BC^2 = BK^2 + KC^2\]

Здесь \(BC\) - это сторона квадрата, а \(BK\) и \(KC\) - это расстояния от точки K до вершин B и C квадрата соответственно.

Но мы не знаем значения \(BK\) и \(KC\). Однако, мы можем использовать знание о том, что треугольник BKC является прямоугольным, чтобы найти связь между этими величинами.

Поскольку \(d\) - это расстояние от точки K до стороны квадрата, то \(BK = CK + d\) или \(BK = \frac{x}{2} + d\). Аналогично, \(KC = CK - d\) или \(KC = \frac{x}{2} - d\).

Теперь мы можем заменить значения \(BK\) и \(KC\) в уравнении Пифагора выше:
\[BC^2 = \left(\frac{x}{2} + d\right)^2 + \left(\frac{x}{2} - d\right)^2\]

Раскрыв скобки, получим:
\[BC^2 = \frac{x^2}{4} + xd + xd + d^2 + \frac{x^2}{4} - xd - xd + d^2\]

Упростив выражение, получим:
\[BC^2 = \frac{x^2}{2} + 2d^2\]

Нам необходимо найти сторону BC, поэтому возьмем квадратный корень от обеих частей:
\[BC = \sqrt{\frac{x^2}{2} + 2d^2}\]

Так что сторона квадрата BC равна \(\sqrt{\frac{x^2}{2} + 2d^2}\).

Чтобы найти значение x, нужно знать величину d. В нашем случае, d равняется половине длины стороны квадрата, то есть \(d = \frac{x}{2}\).

Подставим это значение в формулу для BC:
\[BC = \sqrt{\frac{x^2}{2} + 2\left(\frac{x}{2}\right)^2}\]

Теперь упростим выражение:
\[BC = \sqrt{\frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2}} = \sqrt{\frac{2x^2}{2}} = \sqrt{x^2} = x\]

Таким образом, мы увидели, что сторона квадрата BC равна x. Следовательно, ответ на задачу - сторона квадрата равна 12 сантиметрам.