Чему равно расстояние между точками касания окружностей, вписанных в треугольники АСД и ВСД, на основании

Бельчонок

45

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится знание некоторых свойств вписанных окружностей и равнобедренных треугольников. Давайте разберемся пошагово.

1. Изобразим данную ситуацию. Представим, что у нас есть треугольник АВС, где AB = AC (так как это равнобедренный треугольник).

2. Построим касательные, которые проходят через точки касания окружностей с треугольниками АСД и ВСД. Обозначим точки касания как P и Q соответственно.

3. Так как окружности вписаны в треугольники, то у нас есть следующие свойства:
a) Касательные к окружностям являются перпендикулярами к радиусам в точках касания.
b) Перпендикуляры, опущенные из центра окружности, пересекаются в одной точке (в данном случае в точке центра равнобедренного треугольника С).

4. Возьмем произвольную точку на отрезке {PQ} и обозначим ее как X. Также, обозначим точку пересечения перпендикуляра из точки X с основанием равнобедренного треугольника как Y.

5. Из свойства п. 3a) следует, что треугольник PQX является прямоугольным. Также, из свойства п. 3b) получаем, что треугольник CAY также является прямоугольным.

6. Далее, воспользуемся свойством прямоугольных треугольников, согласно которому сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Применим это свойство к треугольнику PQX и получим следующее:
PQ^2 = PX^2 + XQ^2

7. Также, применим это свойство к треугольнику CAY и получим следующее:
CA^2 = CY^2 + YA^2

8. Из свойства п. 3b) следует, что CY = YA, так как это радиусы окружностей.

9. Теперь, заметим следующее: PQ = 2*PX и CA = 2*CY. Это следует из того, что PX и CY являются катетами прямоугольных треугольников PQX и CAY, соответственно.

10. Заменим в формулах п. 6 и 7 значения PX и CY и получим следующее:
PQ^2 = (2*PX)^2 + XQ^2
CA^2 = (2*CY)^2 + YA^2

11. Так как АВС - равнобедренный треугольник, то AB = AC, следовательно, YA = 2*PX.

12. Заменим в формуле п. 10 значения YA и PX и получим следующее:
PQ^2 = (2*PX)^2 + XQ^2
CA^2 = (2*CY)^2 + (2*PX)^2

13. Заметим, что по теореме Пифагора мы можем записать следующее равенство:
AB^2 = BC^2 + AC^2

14. Подставим значения AB = AC и BC = 2*CY в формулу п. 13 и получим следующее:
(2*CY)^2 = (2*CY)^2 + AC^2

15. Поскольку слева и справа от знака равенства у нас есть одинаковые выражения (округленно к 0.000), то формула выполняется для любого значения CY.

16. Таким образом, получаем, что расстояние между точками касания окружностей, вписанных в треугольники АСД и ВСД, на основании равнобедренного треугольника АВС не зависит от конкретных значений радиусов этих окружностей, а зависит только от геометрических свойств фигур. Оно будет равно значению радиуса одной из окружностей.

Таким образом, расстояние между точками касания окружностей будет равно радиусу одной из окружностей.