Чему равно расстояние между точками пересечения графика окружности (x+4)^2 + (y-1)^2=10 с осью абсцисс?

Валентиновна

30

Чтобы найти расстояние между точками пересечения графика окружности и оси абсцисс, нам нужно сначала найти координаты этих точек. Для этого мы можем приравнять уравнение окружности к нулю по оси абсцисс, потому что точки пересечения будут лежать на оси абсцисс (у координаты точек на оси абсцисс всегда равны нулю).

Итак, давайте приравняем \(y\) к нулю и найдем соответствующие значения \(x\):

\[(x + 4)^2 + (0 - 1)^2 = 10\]

Упростим это уравнение:

\[(x + 4)^2 + 1 = 10\]

\[(x + 4)^2 = 10 - 1\]

\[(x + 4)^2 = 9\]

Чтобы найти значения \(x\), возьмем квадратные корни обеих сторон уравнения:

\[x + 4 = \pm \sqrt{9}\]

\[x + 4 = \pm 3\]

Теперь решим уравнения для \(x\):

1) \(x + 4 = 3\):
\[x = 3 - 4\]
\[x = -1\]

2) \(x + 4 = -3\):
\[x = -3 - 4\]
\[x = -7\]

Итак, получаем два значения \(x\): -1 и -7. Теперь мы можем найти соответствующие значения \(y\), подставив найденные \(x\) обратно в уравнение окружности.

Для \(x = -1\):
\[(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 10\]
\[(-1 + 4)^2 + (y - 1)^2 = 10\]
\[3^2 + (y - 1)^2 = 10\]
\[9 + (y - 1)^2 = 10\]
\[(y - 1)^2 = 10 - 9\]
\[(y - 1)^2 = 1\]
\[y - 1 = \pm \sqrt{1}\]
\[y - 1 = \pm 1\]

Для \(y = -1 + 1 = 0\):
\[y = 0 + 1 = 1\]

Таким образом, первая точка пересечения на оси абсцисс имеет координаты (-1, 0).

Для \(x = -7\):
\[(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 10\]
\[(-7 + 4)^2 + (y - 1)^2 = 10\]
\[-3^2 + (y - 1)^2 = 10\]
\[9 + (y - 1)^2 = 10\]
\[(y - 1)^2 = 10 - 9\]
\[(y - 1)^2 = 1\]
\[y - 1 = \pm \sqrt{1}\]
\[y - 1 = \pm 1\]

Для \(y = -1 + 1 = 0\):
\[y = 0 + 1 = 1\]

Таким образом, вторая точка пересечения на оси абсцисс имеет координаты (-7, 0).

Теперь, чтобы найти расстояние между этими двумя точками, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками на плоскости:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Подставим значения координат точек и вычислим:

\[d = \sqrt{((-7) - (-1))^2 + (0 - 0)^2}\]
\[d = \sqrt{(-7 + 1)^2 + 0^2}\]
\[d = \sqrt{(-6)^2 + 0}\]
\[d = \sqrt{36}\]
\[d = 6\]

Итак, расстояние между точками пересечения графика окружности \( (x+4)^2 + (y-1)^2=10 \) с осью абсцисс равно 6 единицам.