Чему равно sin(t+pi/6), если sin(t)=5/13 и t принадлежит интервалу (pi/2;pi)?

Мистический_Дракон

69

Для начала давайте вспомним определение синуса. Синус угла t в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета (противоположного углу) к гипотенузе треугольника.

Известно, что sin(t) = 5/13 и t принадлежит интервалу (pi/2;pi). Этот интервал соответствует углу, который лежит во втором квадранте (угол между 90 и 180 градусами), где синус является отрицательным.

Теперь, чтобы найти sin(t + pi/6), мы можем воспользоваться формулой для синуса суммы углов: sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B). В нашем случае, A = t, а B = pi/6.

Давайте найдем значение cos(B) и sin(B):
cos(pi/6) = sqrt(3)/2 (это известное значение)
sin(pi/6) = 1/2 (это также известное значение)

Теперь мы можем подставить значения в формулу:
sin(t + pi/6) = sin(t)cos(pi/6) + cos(t)sin(pi/6)

Заменим значения:
sin(t + pi/6) = (5/13)(sqrt(3)/2) + cos(t)(1/2)

Остается найти значение cos(t). Для этого нам понадобится вторая тригонометрическая формула - теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике (синус во втором квадранте отрицателен, поэтому косинус положителен).
Известно, что sin(t)^2 + cos(t)^2 = 1, подставим значение sin(t) = 5/13:
(5/13)^2 + cos(t)^2 = 1
25/169 + cos(t)^2 = 1
cos(t)^2 = 144/169
cos(t) = 12/13

Теперь, чтобы найти окончательный ответ, поставим полученные значения в формулу:
sin(t + pi/6) = (5/13)(sqrt(3)/2) + (12/13)(1/2)
= (5/13)(sqrt(3)/2) + 6/13

Теперь мы можем вычислить это выражение:
sin(t + pi/6) = (5sqrt(3)/26) + 6/13
= (5sqrt(3) + 12)/26

Таким образом, sin(t + pi/6) равно (5sqrt(3) + 12)/26.