Каково значение чисел в виде периодических десятичных дробей и каковы их периоды? а) Каково значение числа 2/9 в виде

Petrovich

24

Пусть дано число вида \(\frac{a}{b}\), где \(a\) и \(b\) - целые числа, и \(b\) не равно нулю. Для нахождения значения числа в виде периодической десятичной дроби и определения ее периода, мы должны разделить \(a\) на \(b\) и выполнить деление в виде десятичной дроби.

а) Рассмотрим число \(\frac{2}{9}\). Выполним деление \(2\) на \(9\):

\[
\begin{array}{cccccccccc}
& 0, & 2 & \,| & 9 & : & 2 & = & 0.2 & ... \\
\end{array}
\]

При делении \(2\) на \(9\) получаем \(0.2\) и так далее, где \(0.2\) - периодическая десятичная дробь.
Значит, значение числа \(\frac{2}{9}\) в виде периодической десятичной дроби равно \(0.2\) и его период составляет одну цифру, равную \(2\).

б) Рассмотрим число \(\frac{14}{5}\). Выполним деление \(14\) на \(5\):

\[
\begin{array}{cccccccccccccccccccccccccccccccccc}
& 2, & 8 & \,| & 5 & : & 14 & = & 2.8 & ... \\
& & - & 2 & 8 & & & & & \\
\cline{2-4}
& & 20 & & & & & & \\
& & 20 & & & & & & \\
& & - & 20 & & & & & \\
\cline{2-3}
& & 0 & & & & & & \\
\end{array}
\]

При делении \(14\) на \(5\) получаем \(2.8\) и так далее, где \(2.8\) - периодическая десятичная дробь.
Значит, значение числа \(\frac{14}{5}\) в виде периодической десятичной дроби равно \(2.8\) и его период составляет одну цифру, равную \(8\).

в) Рассмотрим число \(\frac{24}{33}\). Выполним деление \(24\) на \(33\):

\[
\begin{array}{ccccccccccc}
& 0, & 7 & 2 & \,| & 3 & 3 & : & 2 & 4 & = & 0.72 & 72... \\
\end{array}
\]

При делении \(24\) на \(33\) получаем \(0.72\) и так далее, где \(0.72\) - периодическая десятичная дробь.
Значит, значение числа \(\frac{24}{33}\) в виде периодической десятичной дроби равно \(0.72\) и его период составляет две цифры, равные \(72\).

г) Рассмотрим число \(\frac{19}{132}\). Выполним деление \(19\) на \(132\):

\[
\begin{array}{cccccccccccccccccccccccccccc}
& 0, & 0 & 1 & 4 & 3 & 9 & \,| & 1 & 9 & : & 1 & 3 & 2 & = & 0.01439 & 01439... \\
& & - & 0 & 0 & 0 & 0 & & & & & & & & \\
\cline{2-7}
& & 19 & & 0 & 0 & 0 & & & & & & & & \\
& & 19 & & 0 & 0 & 0 & & & & & & & & \\
& & - & 19 & & 0 & 0 & 0 & & & & & & & \\
\cline{2-4}
& & 0 & 0 & 0 & 0 & & & & & & & & & \\
\end{array}
\]

При делении \(19\) на \(132\) получаем \(0.01439\) и так далее, где \(0.01439\) - периодическая десятичная дробь.
Значит, значение числа \(\frac{19}{132}\) в виде периодической десятичной дроби равно \(0.01439\) и его период составляет пять цифр, равных \(01439\).

д) Рассмотрим число \(\frac{3}{13}\). Выполним деление \(3\) на \(13\):

\[
\begin{array}{ccccccccccccccccc}
& 0, & 2 & 3 & 0 & \,| & 1 & 3 & : & 3 & = & 0.230 & 769230... \\
& & - & 2 & 3 & 0 & & & & & \\
\cline{2-5}
& & 17 & 0 & 0 & & & & & \\
& & 1 & 5 & 9 & 0 & & & & \\
& & - & 1 & 5 & 9 & 0 & & & \\
\cline{2-4}
& & 1 & 1 & 1 & 0 & & & & \\
& & 1 & 1 & 1 & 0 & & & & \\
& & - & 1 & 1 & 1 & 0 & & &