Чему равно выражение: 1) log5(c), если log25(1/c)=14 2) log1/3(a), если log3(1/√a)=9

Радуга_На_Земле

27

Конечно! Давайте разберемся с каждой задачей по очереди:

1) Дано: \(\log_{25}\left(\frac{1}{c}\right) = 14\).
Мы хотим найти значение выражения \(\log_{5}(c)\).

Для решения этой задачи, нам понадобятся два факта о логарифмах. Первый факт связывает логарифмы разных оснований:
Если \(\log_{a}(b) = c\), то \(\log_{a}(x) = \frac{c}{\log_{b}(a)}\).
Теперь применим этот факт в нашей задаче.
Мы знаем, что \(\log_{25}\left(\frac{1}{c}\right) = 14\), поэтому:
\(\log_{5}(c) = \frac{14}{\log_{\frac{1}{c}}(5)}\).

Однако у нас равенство дано в другом виде. Но не беда, воспользуемся вторым фактом о логарифмах. Если \(\log_{a}(b) = c\), то \(a^{c} = b\).
Применим второй факт, чтобы перейти от логарифма к степени:
\(\frac{1}{c} = 25^{14}\).
Теперь найдем значение \(\log_{\frac{1}{c}}(5)\):
\(\log_{\frac{1}{c}}(5) = \frac{\log(5)}{\log\left(\frac{1}{c}\right)} = \frac{\log(5)}{\log(c^{-1})} = \frac{\log(5)}{-\log(c)} = -\frac{\log(5)}{\log(c)}\).

Теперь подставим найденные значения в формулу:
\(\log_{5}(c) = \frac{14}{-\frac{\log(5)}{\log(c)}} = -\frac{14\log(c)}{\log(5)}\).

2) Дано: \(\log_{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right) = 9\).
Мы хотим найти значение выражения \(\log_{\frac{1}{3}}(a)\).

Также воспользуемся фактом о логарифмах, который упоминался в первой задаче, и преобразуем наше выражение:
\(\log_{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right) = 9\).
Тогда:
\(\log_{\frac{1}{3}}(a) = \frac{9}{\log_{\frac{1}{\sqrt{a}}}(3)}\).

Теперь найдем значение \(\log_{\frac{1}{\sqrt{a}}}(3)\):
\(\log_{\frac{1}{\sqrt{a}}}(3) = \frac{\log(3)}{\log\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)} = \frac{\log(3)}{\log\left(\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}}\right)} = \frac{\log(3)}{\log(a^{-\frac{1}{2}})} = \frac{\log(3)}{-\frac{1}{2}\log(a)} = -\frac{2\log(3)}{\log(a)}\).

Итак, подставим значения в формулу:
\(\log_{\frac{1}{3}}(a) = \frac{9}{-\frac{2\log(3)}{\log(a)}} = -\frac{9\log(a)}{2\log(3)}\).

Вот и все! Мы нашли значения выражений \(\log_{5}(c)\) и \(\log_{\frac{1}{3}}(a)\) с помощью поэтапных решений. Если у вас есть дополнительные вопросы, буду рад помочь!