2. Параграф 2. Дается информация о координатах вершин A1(7; 0; 3), A2(3; 0; -1), A3(3; 0; 5), A4(4; 3; -2). Используя

Дождь_6286

46

Шаг 1: Вычисление длины ребра A1A2

Для нахождения длины ребра A1A2 мы можем использовать формулу для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Формула выглядит следующим образом:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]

где d - расстояние между точками (длина ребра),
\(x_1, y_1, z_1\) - координаты первой точки (вершины A1),
\(x_2, y_2, z_2\) - координаты второй точки (вершины A2).

В нашем случае координаты точек A1(7; 0; 3) и A2(3; 0; -1). Подставим эти значения в формулу:

\[d = \sqrt{{(3 - 7)^2 + (0 - 0)^2 + (-1 - 3)^2}}\]

\[d = \sqrt{{(-4)^2 + (0)^2 + (-4)^2}}\]

\[d = \sqrt{{16 + 0 + 16}}\]

\[d = \sqrt{{32}}\]

\[d \approx 5.657\]

Таким образом, длина ребра A1A2 примерно равна 5,657.

Шаг 2: Вычисление угла между ребрами A1A2 и A1A3

Чтобы найти угол между двумя ребрами, мы можем использовать формулу для вычисления угла между двумя векторами. Формула выглядит следующим образом:

\[\cos{\theta} = \frac{{\vec{u} \cdot \vec{v}}}{{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}}\]

где \(\theta\) - угол между векторами,
\(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) - векторы, соответствующие ребрам.

Для рассчета векторов \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\), мы можем использовать точки A1, A2 и A3:

\(\vec{u} = A2 - A1 = (3 - 7, 0 - 0, -1 - 3) = (-4, 0, -4)\)

\(\vec{v} = A3 - A1 = (3 - 7, 0 - 0, 5 - 3) = (-4, 0, 2)\)

Теперь подставим эти значения в формулу:

\[\cos{\theta} = \frac{{(-4, 0, -4) \cdot (-4, 0, 2)}}{{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}}\]

\[\cos{\theta} = \frac{{(-4) \cdot (-4) + 0 \cdot 0 + (-4) \cdot 2}}{{\sqrt{{(-4)^2 + 0^2 + (-4)^2}} \cdot \sqrt{{(-4)^2 + 0^2 + 2^2}}}}\]

\[\cos{\theta} = \frac{{16 + 8}}{{\sqrt{{16 + 16}} \cdot \sqrt{{16 + 4}}}}\]

\[\cos{\theta} = \frac{{24}}{{4 \cdot 10}}\]

\[\cos{\theta} = \frac{{6}}{{10}}\]

\[\cos{\theta} = 0.6\]

Теперь найдем значение угла, используя обратную функцию косинуса:

\[\theta = \arccos{0.6}\]

\[\theta \approx 53.13\]

Таким образом, угол между ребрами A1A2 и A1A3 примерно равен 53,13 градусов.

Шаг 3: Вычисление площади грани A1A2A3

Для вычисления площади грани мы можем использовать формулу для нахождения площади треугольника по трём сторонам (формула Герона). Формула выглядит следующим образом:

\[S = \sqrt{{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}}\]

где S - площадь треугольника,
\(p\) - полупериметр треугольника, который равен \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\),
\(a, b, c\) - длины сторон треугольника.

В нашем случае стороны треугольника это длины ребер A1A2, A1A3 и A2A3. Мы уже рассчитали длину ребра A1A2, которая равна 5.657. Теперь рассчитаем длины остальных двух сторон:

Длина стороны A1A3:

\[\text{A1A3} = \sqrt{{(3 - 7)^2 + (0 - 0)^2 + (5 - 3)^2}} = \sqrt{{(-4)^2 + (0)^2 + (2)^2}} = \sqrt{{16 + 0 + 4}} = \sqrt{{20}} \approx 4.472\]

Длина стороны A2A3:

\[\text{A2A3} = \sqrt{{(3 - 3)^2 + (0 - 0)^2 + (5 - (-1))^2}} = \sqrt{{(0)^2 + (0)^2 + (6)^2}} = \sqrt{{36}} = 6\]

Теперь подставим все значения в формулу Герона:

\[p = \frac{{5.657 + 4.472 + 6}}{2} \approx 8.0645\]

\[S = \sqrt{{8.0645 \cdot (8.0645 - 5.657) \cdot (8.0645 - 4.472) \cdot (8.0645 - 6)}}\]

\[S = \sqrt{{8.0645 \cdot 2.4075 \cdot 3.5925 \cdot 2.0645}}\]

\[S = \sqrt{{98.17261339}}\]

\[S \approx 9.908\]

Таким образом, площадь грани A1A2A3 примерно равна 9,908.

Шаг 4: Вычисление длины высоты пирамиды, проведенной из вершины A4

Для нахождения длины высоты пирамиды, проведенной из вершины A4, мы можем использовать формулу для вычисления высоты пирамиды по площади одного из оснований и длине высоты этого основания.

Формула выглядит следующим образом:

\[h = \frac{{2S}}{{a}}\]

где h - длина высоты,
S - площадь основания,
a - длина стороны основания, которую мы уже рассчитали (A1A2 = 5.657).

В нашем случае, нам нужно рассчитать площадь основания пирамиды A1A2A3A4. Для этого мы можем использовать формулу площади шестиугольника, который составлен из треугольников A1A2A3 и A1A3A4.

\[S_{\text{основания}} = S_{\text{A1A2A3}} + S_{\text{A1A3A4}}\]

Мы уже рассчитали площадь треугольника A1A2A3, которая равна 9.908 (вычислено на предыдущем шаге). Теперь рассчитаем площадь треугольника A1A3A4:

\[S_{\text{A1A3A4}} = \frac{1}{2} \cdot \text{A1A3} \cdot \text{A3A4}\]

\[\text{A3A4} = \sqrt{{(4 - 3)^2 + (3 - 0)^2 + (-2 - 5)^2}} = \sqrt{{(1)^2 + (3)^2 + (-7)^2}} = \sqrt{{1 + 9 + 49}} = \sqrt{{59}} \approx 7.68\]

\[S_{\text{A1A3A4}} = \frac{1}{2} \cdot 4.472 \cdot 7.68 = 17.21136\]

Теперь рассчитаем площадь основания:

\[S_{\text{основания}} = 9.908 + 17.21136 = 27.11936\]

Теперь рассчитаем длину высоты пирамиды:

\[h = \frac{{2 \cdot 27.11936}}{{5.657}}\]

\[h \approx 9.589\]

Таким образом, длина высоты пирамиды, проведенной из вершины A4, примерно равна 9.589.

Шаг 5: Вычисление объема пирамиды A1A2A3A4

Для вычисления объема пирамиды, мы можем использовать формулу для объема пирамиды по площади основания и высоте.

Формула выглядит следующим образом:

\[V = \frac{{S_{\text{основания}} \cdot h}}{3}\]

где V - объем пирамиды,
\(S_{\text{основания}}\) - площадь основания (27.11936),
h - длина высоты (9.589).

Теперь подставим значения в формулу:

\[V = \frac{{27.11936 \cdot 9.589}}{3}\]

\[V \approx 91.75\]

Таким образом, объем пирамиды A1A2A3A4 примерно равен 91.75.

Таким образом, мы с использованием методов векторной алгебры выполнили все пункты задачи. Если у вас есть еще вопросы, обращайтесь!