Чему равно выражение (36 a^2 - 1/9 b^2) : (6a - 1/3b), если а = 5/6 и b = -1/12?

Винни

32

Для решения данной задачи нам необходимо подставить значения переменных \(a\) и \(b\) в выражение \(\frac{{36a^2 - \frac{1}{9}b^2}}{{6a - \frac{1}{3}b}}\) и найти его значение.

Заменим переменные \(a\) и \(b\) соответствующими значениями:
\[
\frac{{36 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 - \frac{1}{9} \cdot \left(-\frac{1}{12}\right)^2}}{{6 \cdot \frac{5}{6} - \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{1}{12}\right)}}
\]

Выполним вычисления в числителе. Сначала возводим \(\frac{5}{6}\) в квадрат:

\[
\frac{36 \cdot \frac{25}{36} - \frac{1}{9} \cdot \left(-\frac{1}{12}\right)^2}{{6 \cdot \frac{5}{6} - \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{1}{12}\right)}}
\]

Упростим и произведем дополнительные вычисления:

\[
\frac{25 - \frac{1}{9} \cdot \left(-\frac{1}{12}\right)^2}{{5 - \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{1}{12}\right)}}
\]

Далее, возводим \(-\frac{1}{12}\) в квадрат. При возведении отрицательного числа в квадрат мы получаем положительный результат:

\[
\frac{25 - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{12^2}}{{5 - \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{1}{12}\right)}}
\]

Сократим дроби в числителе:

\[
\frac{25 - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{144}}{{5 - \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{1}{12}\right)}}
\]

Продолжим упрощение:

\[
\frac{25 - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{144}}{{5 - \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{1}{12}\right)}} = \frac{25 - \frac{1}{9 \cdot 144}}{{5 - \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{1}{12}\right)}}
\]

Выполним дополнительные вычисления:

\[
\frac{25 - \frac{1}{1296}}{{5 + \frac{1}{36}}}
\]

Прежде чем продолжить, нам нужно привести выражение в знаменателе к общему знаменателю:

\[
\frac{25 - \frac{1}{1296}}{{5 + \frac{1}{36}}} = \frac{25 - \frac{1}{1296}}{{\frac{180}{36} + \frac{1}{36}}} = \frac{25 - \frac{1}{1296}}{{\frac{181}{36}}}
\]

Теперь выполним деление числителя на знаменатель:

\[
\frac{25 - \frac{1}{1296}}{{\frac{181}{36}}} = \frac{25}{1} \cdot \frac{36}{181} - \frac{1}{1296} \cdot \frac{36}{181} = \frac{25 \cdot 36}{1 \cdot 181} - \frac{1 \cdot 36}{1296 \cdot 181}
\]

Выполним вычисления:

\[
\frac{900}{181} - \frac{36}{46704} = \frac{900 \cdot 46704}{181 \cdot 46704} - \frac{36}{46704} = \frac{41865600 - 36}{832584} = \frac{41865564}{832584}
\]

Поскольку дробь уже имеет наименьшие возможные числа, мы не можем выполнить дальнейшее сокращение.

Итак, значение выражения \((36a^2 - \frac{1}{9}b^2) : (6a - \frac{1}{3}b)\), когда \(а = \frac{5}{6}\) и \(b = -\frac{1}{12}\), равно \(\frac{41865564}{832584}\).