Чему равно значение mp? Отрезок oр, в котором o - центр окружности, пересекает окружность в точке м. Прямая касается

Янтарь

19

Давайте рассмотрим данную задачу и найдем значение переменной mp.

Мы имеем окружность с центром в точке о и радиусом r. Отрезок op пересекает окружность в точке м, а прямая kt касается окружности в точке k. Дано, что длина отрезка мк равна 24.

Обратимся к свойству касательной, которое гласит, что прямая, проведенная из центра окружности до точки касания касательной с окружностью, перпендикулярна касательной.

Таким образом, отрезки ор и рк являются перпендикулярами. Можем обозначить их длины как op = pк = x.

Теперь рассмотрим треугольник oрk. У него один катет равен r (радиус окружности), а другой катет — р.к. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника xорк, имеем:

\(x^2 + r^2 = (24 + x)^2\)

Раскроем скобки в правой части:

\(x^2 + r^2 = 24^2 + 2 \cdot 24 \cdot x + x^2\)

Упростим выражение:

\(0 = 24^2 + 2 \cdot 24 \cdot x - r^2\)

Вычитаем \(x^2\) из обеих частей:

\(x^2 - 2 \cdot 24 \cdot x = r^2 - 24^2\)

Раскрываем левую часть по формуле сокращенного умножения:

\((x - 24)^2 = r^2 - 24^2\)

Теперь найдем \(x\) по формуле сокращенного умножения:

\(x - 24 = \sqrt{r^2 - 24^2}\)

Добавляем 24 к обеим частям:

\(x = \sqrt{r^2 - 24^2} + 24\)

Таким образом, значение mp равно \(\sqrt{r^2 - 24^2} + 24\).