Чему равно значение выражения |MM1+MM2+...+MM23| внутри правильного 23-угольника M1M2...M23, где точка M выбрана

Фея

4

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать геометрические знания, а также знание векторов.

Пусть O - центр правильного 23-угольника M1M2...M23. Из условия задачи, известно, что длина вектора MO равна 4.

Мы знаем, что при сложении векторов, результатом будет новый вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец - с концом второго вектора.

Таким образом, можем записать выражение для вектора от точки M1 до точки M23, используя свойства линейных векторов:

\(\overrightarrow{M1M23} = \overrightarrow{M1M2} + \overrightarrow{M2M3} + ... + \overrightarrow{M22M23}\)

Так как у нас правильный 23-угольник, то все векторы \(\overrightarrow{M1M2}, \overrightarrow{M2M3}, ..., \overrightarrow{M22M23}\) будут равны между собой.

Получаем:

\(
\overrightarrow{M1M23} = 22 \cdot \overrightarrow{M1M2}
\)

Теперь воспользуемся определением модуля вектора.

Модуль вектора равен длине отрезка, на который этот вектор может быть изменен без изменения его направления. В нашем случае, модуль вектора равен значению выражения внутри модуля.

То есть, для заданного выражения, модуль будет равен:

\(
|\overrightarrow{M1M23}| = |22 \cdot \overrightarrow{M1M2}|
\)

Теперь обратимся к углу M1OM. Применим правило суммы углов в треугольнике M1OM:

\(\angle M1OM = \angle M1OM1 + \angle M1M2M1\)

Из условия задачи, угол M1OM равен 135°. А так как M1M2 - сторона правильного 23-угольника, то угол M1M2M1 будет равен 360° / 23 (так как внутри 23-угольника в сумме получается 360°).

Получаем:

\(\angle M1OM1 = 135^\circ - \frac{360^\circ}{23}\)

Далее, воспользуемся формулой для перевода градусов в радианы:

\(\frac{180^\circ}{\pi}\) радиан.

Таким образом, угол M1OM1 будет равен:

\(\angle M1OM1 = 135^\circ - \frac{360^\circ}{23} \approx 5.456^\circ \approx 0.0953\) радиан.

Теперь у нас есть вектор \(\overrightarrow{M1M2}\) и угол \(\angle M1OM1\) в радианах.

Для нахождения модуля вектора итогового результата, подставим полученные значения в формулу:

\(|\overrightarrow{M1M23}| = |22 \cdot \overrightarrow{M1M2}|\)

\(|\overrightarrow{M1M23}| = 22 \cdot |\overrightarrow{M1M2}|\)

Для вычисления |\overrightarrow{M1M2}| воспользуемся соотношением между длиной вектора и его координатами в декартовой системе координат:

\(|\overrightarrow{M1M2}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

Так как правильный 23-угольник симметричен относительно оси OX, то координаты точек M1 и M2 будут иметь следующий вид:

\((x_1, y_1) = (r, 0)\) - координаты точки M1

\((x_2, y_2) = (r \cdot \cos(\theta), r \cdot \sin(\theta))\) - координаты точки M2 (декартовы координаты, выраженные через полярные координаты)

В нашем случае, r - длина вектора MO, равная 4, а \(\theta\) - угол \(\angle M1OM1\), равный 0,0953 радиан. Подставим эти значения и решим выражение для |\overrightarrow{M1M2}|:

\(|\overrightarrow{M1M2}| = \sqrt{(r \cdot \cos(\theta) - r)^2 + (r \cdot \sin(\theta) - 0)^2}\)

\(|\overrightarrow{M1M2}| = \sqrt{(4 \cdot \cos(0.0953) - 4)^2 + (4 \cdot \sin(0.0953) - 0)^2}\)

\(|\overrightarrow{M1M2}| \approx \sqrt{(3.99 - 4)^2 + (0.382 - 0)^2}\)

\(|\overrightarrow{M1M2}| \approx \sqrt{0.0001 + 0.145924}\)

\(|\overrightarrow{M1M2}| \approx \sqrt{0.145964}\)

\(|\overrightarrow{M1M2}| \approx 0.3823\)

Теперь, подставим найденное значение |\overrightarrow{M1M2}| в основную формулу для нахождения модуля вектора \overrightarrow{M1M23}:

\(|\overrightarrow{M1M23}| = 22 \cdot |\overrightarrow{M1M2}|\)

\(|\overrightarrow{M1M23}| = 22 \cdot 0.3823\)

\(|\overrightarrow{M1M23}| \approx 8.4093\)

Таким образом, значение выражение |MM1+MM2+...+MM23| внутри правильного 23-угольника M1M2...M23 при заданных условиях равно приблизительно 8.4093.