Через какое время после выхода второго автомобиля он впервые приблизился на минимальное расстояние с первым автомобилем

Misticheskiy_Lord

19

Данная задача связана с движением двух автомобилей на маршруте в форме квадрата. По условию, автомобили двигаются с одинаковой постоянной скоростью и время t меньше, чем 2a/v, где a - длина стороны квадрата, v - скорость автомобилей.

Чтобы определить, через какое время после выхода второго автомобиля он впервые приблизился на минимальное расстояние с первым автомобилем, рассмотрим двигающийся второй автомобиль и его относительное положение относительно первого автомобиля на маршруте.

Положим, что первый автомобиль находится в точке F, а второй автомобиль - в точке H (см. рисунок).

    F---G

    |   |

    |   |

    H---J

Для удобства, введем координатную систему, где начало координат будет в точке F. Обозначим координаты первого автомобиля как (0, 0), а координаты второго автомобиля как (x, y).

Если второй автомобиль приблизился на минимальное расстояние к первому автомобилю, то это означает, что расстояние между ними минимально. Давайте найдем расстояние между точками H и G.

Сначала найдем координаты точки G. Так как G находится на той же горизонтальной линии, что и F, то ее y-координата будет равна 0. Так как G находится на расстоянии a от F, то x-координата будет равна a. Таким образом, координаты точки G равны (a, 0).

Теперь найдем координаты точки H. Так как H находится на той же вертикальной линии, что и F, то ее x-координата будет равна 0. Так как H находится на расстоянии a от G, а G находится на расстоянии a от F, то y-координата будет равна -a. Таким образом, координаты точки H равны (0, -a).

Мы имеем две точки, G и H, и нужно найти расстояние между ними. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[
d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}
\]

Подставим значения координат точек G и H:

\[
d = \sqrt{{(a - 0)^2 + (0 - (-a))^2}} = \sqrt{{a^2 + a^2}} = \sqrt{{2a^2}} = a\sqrt{{2}}
\]

Теперь мы знаем, что расстояние между точками H и G равно a\sqrt{{2}}.

Чтобы определить, через какое время после выхода второго автомобиля он впервые приблизился на минимальное расстояние с первым автомобилем, мы должны определить, когда расстояние между ними будет равно a\sqrt{{2}}.

Скорость движения автомобилей - постоянная величина. Мы можем использовать уравнение скорости, чтобы найти расстояние, пройденное автомобилем в зависимости от времени t:

\[
s = vt
\]

где s - пройденное расстояние, v - скорость автомобиля, t - время движения.

Расстояние, пройденное первым автомобилем, будет равно a (периметр квадрата) за время t. Расстояние, пройденное вторым автомобилем, будет равно x + y за время t.

Теперь мы можем сформулировать уравнение для расстояния между автомобилями в зависимости от времени t:

\[
a\sqrt{{2}} = (x + y) - a
\]

Мы знаем, что время t меньше, чем 2a/v. Заменяя t в уравнении, получим:

\[
a\sqrt{{2}} = a + \frac{{2ax}}{{v}} + \frac{{2ay}}{{v}}
\]

Для дальнейшего решения уравнения нам понадобится знание отношения x и y:

Поскольку автомобили двигались с одинаковой постоянной скоростью, то в каждый момент времени t они должны перемещаться с одинаковой скоростью. Поэтому отношение x и y должно быть одинаковым как в модуле, так и в знаке:

\[
\frac{{x}}{{y}} = 1
\]

Решим это уравнение с двумя неизвестными x и y:

\[
a\sqrt{{2}} = a + \frac{{2ax}}{{v}} + \frac{{2ay}}{{v}}
\]

\[
a\sqrt{{2}} = a + \frac{{2a}}{{v}}\left(x+y\right)
\]

Заменяем x+y на 2y (так как x и y имеют одно и то же отношение):

\[
a\sqrt{{2}} = a + \frac{{4ay}}{{v}}
\]

Упростим уравнение, домножив все его части на v:

\[
va\sqrt{{2}} = av + 4ay
\]

\[
va\sqrt{{2}} - av = 4ay
\]

Выносим y за скобки:

\[
y = \frac{{va\sqrt{{2}} - av}}{{4a}}
\]

Сокращаем a в числителе и знаменателе:

\[
y = \frac{{v\sqrt{{2}} - v}}{{4}}
\]

Теперь, когда у нас есть значение y, мы можем найти значение x, зная их соотношение:

\[
\frac{{x}}{{y}} = 1
\]

\[
x = y = \frac{{v\sqrt{{2}} - v}}{{4}}
\]

Итак, мы получили значения x и y:

\[
x = y = \frac{{v\sqrt{{2}} - v}}{{4}}
\]

Теперь мы можем найти время t, через которое второй автомобиль приблизится на минимальное расстояние к первому автомобилю. Мы знаем, что расстояние между ними равно a\sqrt{{2}}. Можем использовать уравнение пройденного расстояния:

\[
s = vt
\]

где s - пройденное расстояние, v - скорость автомобиля, t - время движения.

Пройденное расстояние вторым автомобилем будет равно x + y:

\[
s = x + y = \frac{{v\sqrt{{2}} - v}}{{4}} + \frac{{v\sqrt{{2}} - v}}{{4}} = \frac{{v\sqrt{{2}} - v}}{{2}}
\]

Подставляем значение пройденного расстояния s = a\sqrt{{2}}:

\[
\frac{{v\sqrt{{2}} - v}}{{2}} = a\sqrt{{2}}
\]

Решаем уравнение относительно времени t:

\[
v\sqrt{{2}} - v = 2a\sqrt{{2}}
\]

Выносим v за скобки:

\[
\sqrt{{2}}v - v = 2a\sqrt{{2}}
\]

\[
v(\sqrt{{2}} - 1) = 2a\sqrt{{2}}
\]

Избавляемся от скобок:

\[
v = \frac{{2a\sqrt{{2}}}}{{\sqrt{{2}} - 1}}
\]

Теперь, чтобы найти время t, подставим значение v в уравнение:

\[
t = \frac{{2a}}{{v}} = \frac{{2a}}{{\frac{{2a\sqrt{{2}}}}{{\sqrt{{2}} - 1}}}}
\]

Упростим выражение:

\[
t = \frac{{2a(\sqrt{{2}} - 1)}}{{2a\sqrt{{2}}}} = \frac{{\sqrt{{2}} - 1}}{{\sqrt{{2}}}}
\]

Таким образом, время t, через которое второй автомобиль впервые приблизится на минимальное расстояние с первым автомобилем, равно \(\frac{{\sqrt{{2}} - 1}}{{\sqrt{{2}}}}\).