Через какое время t после выстрела орудие услышит звук разрыва снаряда, если выстрел производится под углом а

Пчела

20

Для решения данной задачи мы сначала найдем время полета снаряда до попадания в цель. Затем рассчитаем время, через которое звук разрыва будет услышан орудием.

1. Найдем время полета снаряда. Для этого воспользуемся горизонтальной и вертикальной составляющими начальной скорости снаряда.

Горизонтальная составляющая скорости остается постоянной на протяжении всего полета. Поэтому мы можем записать уравнение для горизонтального перемещения:

\[x = v_x \cdot t\],

где \(x\) - горизонтальное перемещение, \(v_x\) - горизонтальная составляющая скорости, \(t\) - время полета.

В данной задаче горизонтальное перемещение равно нулю, так как снаряд попадает в цель на той же горизонтальной поверхности. Это означает, что \(x = 0\). Тогда получаем:

\[0 = v \cdot \cos(a) \cdot t\].

Теперь рассмотрим вертикальную составляющую скорости. Запишем уравнение для вертикального перемещения:

\[y = v_y \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2}\],

где \(y\) - вертикальное перемещение, \(v_y\) - вертикальная составляющая скорости, \(g\) - ускорение свободного падения.

В данной задаче мы ищем время, через которое снаряд попадет в цель, поэтому \(y = 0\). Подставляем известные значения:

\[0 = v \cdot \sin(a) \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2}\].

Теперь можем решить полученное квадратное уравнение относительно \(t\):

\(0 = v \cdot \sin(a) \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2}\).

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\(0 = (\frac{-g}{2}) \cdot t^2 + v \cdot \sin(a) \cdot t\).

Теперь приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения \(at^2 + bt + c = 0\):

\(0 = (\frac{-g}{2}) \cdot t^2 + v \cdot \sin(a) \cdot t\).

\(0 = -\frac{g}{2} \cdot t^2 + v \cdot \sin(a) \cdot t\).

Теперь найдем коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\):

\(a = -\frac{g}{2}\),

\(b = v \cdot \sin(a)\),

\(c = 0\).

Таким образом, у нас получается следующее квадратное уравнение:

\(-\frac{g}{2} \cdot t^2 + v \cdot \sin(a) \cdot t = 0\).

Можем решить его с помощью формулы дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\].

\[D = (v \cdot \sin(a))^2 - 4 \cdot (-\frac{g}{2}) \cdot 0\].

\[D = v^2 \cdot \sin^2(a)\].

Если дискриминант \(D\) больше или равен нулю, то у уравнения есть два корня. Так как нас интересует только положительный корень времени полета, продолжим решение.

\[t = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\].

\[t = \frac{-v \cdot \sin(a) + \sqrt{v^2 \cdot \sin^2(a)}}{-\frac{g}{2}}\].

\[t = \frac{-v \cdot \sin(a) + v \cdot \sin(a)}{-\frac{g}{2}}\].

\[t = \frac{2v \cdot \sin(a)}{g}\].

Теперь найдем время, через которое орудие услышит звук разрыва снаряда. Звук будет услышан орудием в момент, когда снаряд достигнет цели. Таким образом, время, через которое будет услышан звук, равно времени полета снаряда \(t\).

Подставим известные значения в формулу:

\[t = \frac{2 \cdot v \cdot \sin(a)}{g}\].

\[t = \frac{2 \cdot 680 \cdot \sin(30°)}{10}\].

\[t = \frac{2 \cdot 680 \cdot \frac{1}{2}}{10}\].

\[t = \frac{680}{10}\].

\[t = 68\].

Ответ: Через 68 секунд после выстрела орудие услышит звук разрыва снаряда.