Через сколько времени количество изотопа ртути 6C11 уменьшится примерно в 4 раза, если его полураспад равен 20 минутам?

Yarus

34

Для решения задачи мы можем использовать формулу экспоненциального убывания, которая выглядит следующим образом:

\[N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}\]

где:
- \(N(t)\) - количество оставшегося изотопа через время \(t\)
- \(N_0\) - начальное количество изотопа
- \(\lambda\) - постоянная распада изотопа
- \(e\) - основание натурального логарифма (приближенно равно 2.71828)

Сначала найдем значение для постоянной распада \(\lambda\). Полураспад равен 20 минутам, поэтому мы можем использовать следующую формулу для определения \(\lambda\):

\[t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}\]

где \(t_{1/2}\) - полураспадное время.

Подставляем известные значения:

\[20 = \frac{\ln(2)}{\lambda}\]

Решаем это уравнение относительно \(\lambda\):

\[\lambda = \frac{\ln(2)}{20}\]

Теперь мы можем использовать эту постоянную распада, чтобы ответить на первую часть вопроса. Мы хотим узнать через сколько времени количество изотопа уменьшится примерно в 4 раза. Предположим, что через время \(t\) останется \(\frac{N_0}{4}\) изотопа. Подставляем все значения в формулу экспоненциального убывания и находим значение \(t\):

\[\frac{N_0}{4} = N_0 \cdot e^{-\left(\frac{\ln(2)}{20}\right) \cdot t}\]

Далее, решаем это уравнение относительно \(t\):

\[\frac{1}{4} = e^{-\left(\frac{\ln(2)}{20}\right) \cdot t}\]

\[t = -\frac{20}{\ln(2)} \cdot \ln\left(\frac{1}{4}\right)\]

Вычисляем значение \(t\):

\[t \approx 27.73\] минуты

Теперь перейдем ко второй части вопроса. Мы хотим узнать, сколько миллиграммов изотопа останется примерно через 1 час. Подставляем все значения в формулу экспоненциального убывания и находим оставшееся количество изотопа:

\[N(t) = N_0 \cdot e^{-\left(\frac{\ln(2)}{20}\right) \cdot t}\]

\[N(60) = 80 \cdot e^{-\left(\frac{\ln(2)}{20}\right) \cdot 60}\]

Вычисляем значение \(N(60)\):

\[N(60) \approx 5.36\] миллиграммов

Таким образом, через примерно 1 час количество изотопа ртути 6C11 составит около 5.36 миллиграммов.