Определите периоды колебаний математических маятников и отношение их энергий при одинаковых угловых амплитудах, если

Димон

30

Для решения данной задачи, мы можем использовать следующие формулы для периода колебаний математического маятника:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\]

где:
\(T\) - период колебаний маятника,
\(L\) - длина маятника,
\(g\) - ускорение свободного падения.

Для начала, найдем период колебаний математического маятника с длиной \(L_1 = 10\) см:

\[T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L_1}{g}}\]
\[T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{0.1}{9.8}}\]
\[T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{1}{98}}\]
\[T_1 \approx 2\pi \sqrt{0.0102}\]
\[T_1 \approx 2\pi \cdot 0.101\]
\[T_1 \approx 0.636 \, сек.\]
\[T_1 \approx 0.6 \, сек.\]

Период колебаний математического маятника с длиной \(L_1 = 10\) см составляет примерно 0.6 секунды (округляем до десятых).

Теперь найдем период колебаний математического маятника с длиной \(L_2 = 20\) см:

\[T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L_2}{g}}\]
\[T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{0.2}{9.8}}\]
\[T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{2}{98}}\]
\[T_2 \approx 2\pi \sqrt{0.0204}\]
\[T_2 \approx 2\pi \cdot 0.143\]
\[T_2 \approx 0.898 \, сек.\]
\[T_2 \approx 0.9 \, сек.\]

Период колебаний математического маятника с длиной \(L_2 = 20\) см составляет примерно 0.9 секунды (округляем до десятых).

Теперь найдем отношение энергий между маятниками при одинаковых угловых амплитудах. При одинаковых угловых амплитудах, энергия математического маятника равна его кинетической энергии в крайних точках колебания:

\[E = \frac{1}{2} m v^2\]

где:
\(E\) - энергия маятника,
\(m\) - масса маятника,
\(v\) - скорость маятника.

Массы шариков одинаковы, поэтому отношение их энергий будет зависеть только от скорости маятника. Для математического маятника скорость в крайней точке колебания можно выразить через угловую амплитуду \(A\) и период колебаний \(T\) следующим образом:

\[v = A \cdot \frac{2\pi}{T}\]

Таким образом, отношение энергий между маятниками при одинаковых угловых амплитудах будет равно:

\[\frac{E_2}{E_1} = \frac{\frac{1}{2} m \cdot (A_2 \cdot \frac{2\pi}{T_2})^2}{\frac{1}{2} m \cdot (A_1 \cdot \frac{2\pi}{T_1})^2}\]
\[\frac{E_2}{E_1} = \frac{A_2^2 \cdot T_1^2}{A_1^2 \cdot T_2^2}\]

Подставим значения:

\[\frac{E_2}{E_1} = \frac{(0.2)^2 \cdot (0.6)^2}{(0.1)^2 \cdot (0.9)^2}\]
\[\frac{E_2}{E_1} = \frac{0.04 \cdot 0.36}{0.01 \cdot 0.81}\]
\[\frac{E_2}{E_1} = \frac{0.0144}{0.0081}\]
\[\frac{E_2}{E_1} \approx 1.7778\]
\[\frac{E_2}{E_1} \approx 1.8\]

Отношение энергий между математическими маятниками при одинаковых угловых амплитудах составляет примерно 1.8 (округляем до десятых).