Что можно получить путем переформулировки следующего выражения: (2(cos[z]+cos[3z]))/(2sin[2z]+sin[z])?

Magicheskiy_Feniks

23

Для переформулировки данного выражения мы можем воспользоваться формулами тригонометрии. Начнем с упрощения числителя и знаменателя по отдельности.

В числителе у нас есть сумма двух косинусов суммы углов \((z + 3z)\). Мы можем воспользоваться формулой для косинуса суммы углов:

\[\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B.\]

Применяя эту формулу, получаем:

\[
\begin{aligned}
2(\cos[z] + \cos[3z]) &= 2(\cos[z] \cdot \cos[2z] - \sin[z] \cdot \sin[2z] + \cos[z] \cdot \cos[2z] - \sin[z] \cdot \sin[2z]) \\
&= 4\cos[z] \cdot \cos[2z] - 2\sin[z] \cdot \sin[2z].
\end{aligned}
\]

Теперь разберемся со знаменателем. У нас есть сумма двух синусов суммы и произведения углов \((2z + z)\). Воспользуемся формулой для синуса суммы:

\[\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B.\]

Применяя эту формулу, получаем:

\[
\begin{aligned}
2\sin[2z] + \sin[z] &= 2(\sin[z] \cdot \cos[z] + \cos[z] \cdot \sin[z]) + \sin[z] \\
&= 2\sin[z] \cdot \cos[z] + 2\cos[z] \cdot \sin[z] + \sin[z] \\
&= 2\sin[z](1 + \cos[z]) + \sin[z] \\
&= 3\sin[z](1 + \cos[z]).
\end{aligned}
\]

Теперь мы можем сократить общий множитель \(\sin[z]\) в числителе и знаменателе:

\[
\begin{aligned}
\frac{2(\cos[z] + \cos[3z])}{2\sin[2z] + \sin[z]} &= \frac{4\cos[z] \cdot \cos[2z] - 2\sin[z] \cdot \sin[2z]}{3\sin[z](1 + \cos[z])} \\
&= \frac{4\cos[z] \cdot \cos[2z]}{3\sin[z](1 + \cos[z])} - \frac{2\sin[z] \cdot \sin[2z]}{3\sin[z](1 + \cos[z])} \\
&= \frac{4\cos[z] \cdot \cos[2z]}{3(1 + \cos[z])} - \frac{2\sin[z] \cdot \sin[2z]}{3(1 + \cos[z])}.
\end{aligned}
\]

Если у нас есть конкретные значения угла \(z\), мы можем вычислить это выражение численно. Но с точки зрения общей переформулировки мы достигли нашей цели, приведя выражение к более простому и понятному виду.