Что необходимо найти, если вершины прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна 6, лежат на сфере

Yascherka

50

Чтобы найти искомое в данной задаче, давайте рассмотрим ее по шагам.

Шаг 1: Построение рисунка и лейблы
Для начала, построим рисунок треугольника и сферы для наглядности. Введите рисунок здесь:

Рисунок: прямоугольный треугольник ABC, где BC - гипотенуза, точка O - центр сферы, точка M - точка пересечения гипотенузы с плоскостью треугольника.

В рисунке обозначим:
- Вершины треугольника: A, B, и C.
- Гипотенузу треугольника: BC (длиной 6).
- Центр сферы: O.
- Точку пересечения гипотенузы и плоскости треугольника: M.
- Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника: 2.

Шаг 2: Анализ задачи
Из рисунка видно, что треугольник ABC - прямоугольный треугольник. Подразумевается, что гипотенуза лежит на сфере, а расстояние от центра сферы до плоскости треугольника известно. Нам нужно найти что-то, связанное с площадью сферы.

Шаг 3: Нахождение радиуса сферы
На данном этапе нам нужно найти радиус сферы. Для этого воспользуемся формулой, связанной с расстоянием от центра сферы до плоскости треугольника. Формула гласит:

\[d = \frac{1}{3} \cdot h\]

где \(d\) - радиус сферы, а \(h\) - расстояние от центра сферы до плоскости треугольника.

Подставим известные значения:

\[2 = \frac{1}{3} \cdot h\]

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:

\[6 = h\]

Таким образом, радиус сферы \(d\) равен 6.

Шаг 4: Нахождение площади сферы
Теперь, когда мы нашли радиус сферы, можем найти площадь сферы. Формула для площади сферы задается следующим образом:

\[S = 4\pi r^2\]

где \(S\) - площадь сферы, а \(r\) - радиус сферы.

Подставим известные значения:

\[S = 4\pi \cdot 6^2\]

Выполним вычисления:

\[S = 4\pi \cdot 36\]

\[S = 144\pi\]

Таким образом, площадь сферы \(S\) равна \(144\pi\).

Ответ: Площадь сферы, если вершины прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна 6, лежат на сфере, а расстояние от центра до плоскости треугольника равно 2, составляет \(144\pi\).