Найти координаты вершин А, В, С треугольника ΔABC, где M, N, K - середины сторон AB, BC, AC соответственно. Значения

Кира

58

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться свойством серединных перпендикуляров в треугольнике.

Сначала найдем координаты точки A, используя точку M как середину стороны BC. Для этого найдем серединную перпендикулярную стороне BC.

Вектор, соединяющий точки B и C, можно найти как разность их координат:

\(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} = (-16, -8, -18) - (4, 0, -2) = (-20, -8, -16)\)

Теперь найдем серединную точку D перпендикуляра к стороне BC, проходящего через M. Эта точка будет находиться на полпути между B и C:

\(\overrightarrow{MD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2} (-20, -8, -16) = (-10, -4, -8)\)

Теперь мы можем найти координаты точки A, складывая вектор \(\overrightarrow{MD}\) с координатами точки M:

\(\overrightarrow{A} = \overrightarrow{M} + \overrightarrow{MD} = (3, -2, -4) + (-10, -4, -8) = (-7, -6, -12)\)

Таким образом, координаты точки A равны (-7, -6, -12).

Аналогичным образом можем найти координаты точек B и C.

Для точки B используем точку N, как середину стороны AC. Найдем вектор \(\overrightarrow{NC}\):

\(\overrightarrow{NC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{N} = (-16, -8, -18) - (-6, 4, -10) = (-10, -12, -8)\)

Теперь найдем серединную точку E перпендикуляра к стороне AC, проходящего через N:

\(\overrightarrow{NE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{NC} = \frac{1}{2} (-10, -12, -8) = (-5, -6, -4)\)

Теперь можем найти координаты точки B, сложив вектор \(\overrightarrow{NE}\) с координатами точки N:

\(\overrightarrow{B} = \overrightarrow{N} + \overrightarrow{NE} = (-6, 4, -10) + (-5, -6, -4) = (-11, -2, -14)\)

Таким образом, координаты точки B равны (-11, -2, -14).

Наконец, для точки C используем точку K, как середину стороны AB. Найдем вектор \(\overrightarrow{KA}\):

\(\overrightarrow{KA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{K} = (-7, -6, -12) - (-7, 2, -12) = (0, -8, 0)\)

Теперь найдем серединную точку F перпендикуляра к стороне AB, проходящего через K:

\(\overrightarrow{KF} = \frac{1}{2} \overrightarrow{KA} = \frac{1}{2} (0, -8, 0) = (0, -4, 0)\)

Теперь можем найти координаты точки C, сложив вектор \(\overrightarrow{KF}\) с координатами точки K:

\(\overrightarrow{C} = \overrightarrow{K} + \overrightarrow{KF} = (-7, 2, -12) + (0, -4, 0) = (-7, -2, -12)\)

Таким образом, координаты точки C равны (-7, -2, -12).

Поэтому, правильным ответом будет: A (-7, -6, -12), B (-11, -2, -14), C (-7, -2, -12).

Ответ: 3.