Что нужно найти в треугольнике abc, если известно, что ab = 3 см, bc = 4 см, qb = 30°?

Магнитный_Пират_574

30

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о тригонометрии и теореме синусов. Давайте начнем:

1. По условию задачи мы знаем, что сторона ab равна 3 см, сторона bc равна 4 см, и угол qb между этими сторонами равен 30°.

2. Прежде чем мы найдем недостающую информацию о треугольнике abc, давайте определим, какие стороны и углы нам даны. В данной задаче у нас есть две стороны и один угол.

3. В данном случае у нас имеется две знаемых стороны: ab и bc. Обозначим их через a и b соответственно.

4. Искомая величина может быть углом или стороной треугольника. Поскольку в данной задаче мы должны найти, что нужно найти, предположим, что это будет сторона ac. Обозначим ее как c.

5. Мы также знаем, что угол qb между сторонами ab и bc равен 30°. Обозначим этот угол как Q.

6. Теперь вспомним о теореме синусов, которая гласит: отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно одному и тому же для всех трех сторон треугольника.

7. Применим теорему синусов для нашего треугольника abc. Мы имеем:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

где a, b, и c - длины сторон треугольника, а A, B, и C - соответствующие им углы.

8. Из предыдущего шага мы можем записать:

\[\frac{3}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

Поскольку нам нужно найти сторону ac, наша формула становится:

\[\frac{3}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

9. Мы знаем, что синус 30° равен 0,5 (или \(\frac{1}{2}\)), поэтому можем продолжить:

\[\frac{3}{\frac{1}{2}} = \frac{4}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]
\[6 = \frac{4}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

10. Найдем синус угла B, применив обратную функцию синуса (также известную как арксинус):

\[\sin B = \frac{4}{6}\]
\[B = \arcsin\left(\frac{2}{3}\right)\]

11. Используя калькулятор, получаем, что угол B примерно равен 41,81°.

12. Теперь найдем угол C, применив факт, что сумма всех углов в треугольнике равна 180°:

\[A + B + C = 180^\circ\]
\[30^\circ + 41,81^\circ + C = 180^\circ\]
\[C \approx 108,19^\circ\]

13. Подставим значения углов в формулу синусов, чтобы найти сторону ac:

\[\frac{3}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{\sin(41,81^\circ)} = \frac{c}{\sin(108,19^\circ)}\]

Подставляя значения, получаем:

\[\frac{3}{\frac{1}{2}} = \frac{4}{\sin(41,81^\circ)} = \frac{c}{\sin(108,19^\circ)}\]
\[6 = \frac{4}{\sin(41,81^\circ)} = \frac{c}{\sin(108,19^\circ)}\]

14. Теперь найдем сторону ac, применяя формулу синуса:

\[c = 6 \cdot \sin(108,19^\circ)\]
\[c \approx 6 \cdot 0,9255\]
\[c \approx 5,55 \, \text{см}\]

Таким образом, чтобы найти сторону ac, нам потребуется примерно 5,55 см.