Каков будет объем конуса, если высота равна 6 см, а плоскость, расположенная параллельно основанию, делит образующую

София

60

Для решения данной задачи нам понадобится использовать пропорции и формулу для объема конуса.

Введем обозначения:
\(V\) - объем конуса,
\(h\) - высота конуса,
\(r\) - радиус основания конуса,
\(l\) - образующая конуса.

Дано, что высота конуса равна 6 см, а плоскость, параллельная основанию, делит образующую конуса в пропорции 1:3 (при отсчете от вершины). Значит, отношение длины с 1-й части образующей к длине второй части будет равно 1:3. Мы можем представить это следующим образом:

\(\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{3}\)

Также из условия дано, что площадь сечения этой плоскостью равна \(S\). Так как сечение плоскостью проходит параллельно основанию, то это является площадью основания конуса. По формуле площади основания конуса можно записать:

\(S = \pi r^2\)

Теперь мы можем рассмотреть треугольник, образованный радиусом, образующей и полусечением плоскости, перпендикулярным образующей. Такой треугольник - прямоугольный с равными катетами, причем одна из этих сторон известна нам, это радиус, а другая сторона - это \(l_2\). Используем теорему Пифагора:

\(l_2^2 = r^2 + (3r)^2 = r^2 + 9r^2 = 10r^2\)

Теперь у нас есть выражение для \(l_2\) через \(r\). Чтобы выразить \(l_1\) через \(r\), можем использовать пропорцию:

\(\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{3}\)

\(l_1 = \frac{l_2}{3} = \frac{10r^2}{3}\)

Теперь можем записать формулу для объема конуса, используя высоту:

\(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\)

Подставим значения, выраженные через \(r\):

\(V = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 6 = 2 \pi r^2\)

Таким образом, объем конуса равен \(2 \pi r^2\) в кубических сантиметрах.