Что произойдет, если человек перейдет с края вращающейся платформы в её центр? Масса платформы составляет 100 кг, масса

Михайлович

21

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, нам понадобится применить законы сохранения момента импульса вращающейся системы.

Когда человек переходит с края платформы в ее центр, он сокращает расстояние до оси вращения. Изменение радиуса платформы оказывает влияние на ее момент инерции, который определяется как произведение массы на квадрат расстояния до оси вращения.

Момент инерции платформы можно вычислить по формуле:
\[ I_1 = M \cdot R^2 \]
где I_1 - исходный момент инерции платформы, M - масса платформы, R - радиус платформы.

Момент инерции системы после того, как человек перешел в центр, можно выразить как:
\[ I_2 = (M + m) \cdot r^2 \]
где I_2 - измененный момент инерции системы, m - масса человека, r - расстояние от центра платформы, где находится человек, до оси вращения.

После перехода человека в центр, момент инерции системы изменится, так как масса системы будет распределена ближе к оси вращения. По закону сохранения момента импульса вращающейся системы, момент импульса должен сохраняться.

Момент импульса системы до перехода можно выразить как:
\[ L_1 = I_1 \cdot \omega_1 \]
где L_1 - исходный момент импульса системы, \(\omega_1\) - исходная угловая скорость вращения платформы.

Момент импульса системы после перехода можно выразить как:
\[ L_2 = I_2 \cdot \omega_2 \]
где L_2 - измененный момент импульса системы, \(\omega_2\) - измененная угловая скорость вращения платформы.

Так как момент импульса должен сохраняться, то L_1 равно L_2:
\[ I_1 \cdot \omega_1 = I_2 \cdot \omega_2 \]

Заменим моменты инерции в уравнении:
\[ M \cdot R^2 \cdot \omega_1 = (M + m) \cdot r^2 \cdot \omega_2 \]

Теперь можем рассмотреть соотношение между исходной и измененной угловой скоростью. Угловая скорость обратно пропорциональна расстоянию от оси вращения. Таким образом, когда расстояние сокращается, угловая скорость должна увеличиваться.

\[ \omega_2 = \frac{{I_1 \cdot \omega_1}}{{(M + m) \cdot r^2}} \]

Теперь мы можем рассчитать изменение угловой скорости после того, как человек перейдет в центр. Подставим числовые значения:
M = 100 кг, m = 80 кг, R = 3 м, r = 0.5 м, \(\omega_1 = \frac{{10 оборотов}}{{60 секунд}} \cdot 2\pi \)

\[ \omega_2 = \frac{{(100 \cdot 3^2 \cdot \frac{{10 \cdot 2\pi}}{{60}})}}{{(100 + 80) \cdot 0.5^2}} \]

Вычислим данное выражение:
\[ \omega_2 \approx 0.73 \, рад/с \]

Таким образом, после перехода человека в центр платформы, угловая скорость вращения платформы составит около 0.73 рад/с. Это будет меньше исходной угловой скорости, но платформа все равно будет продолжать вращаться. Переход человека в центр снизит скорость вращения платформы, но не остановит ее полностью.