Что такое масса груза в системе, в которой катушка висит на нити, намотанной по малому радиусу r = 4 см катушки

Romanovich

6

Масса груза в данной системе можно определить, рассматривая равновесие системы и решая уравнение для сил, действующих на нее.

Для начала, рассмотрим равновесие катушки, которая висит на нити. Когда система находится в равновесии, груз и катушка испытывают равные, но противоположные по направлению силы, так как нет ускорения.

Сила, действующая на катушку по вертикали, это вес груза, который определяется массой груза \( m_{\text{груза}} \) и ускорением свободного падения \( g \). Обозначим эту силу как \( F_{\text{вертикаль}} \).

Также на катушку действует горизонтальная сила натяжения \( F_{\text{нат}} \), вызванная натяжением нити. Эта сила направлена вдоль радиуса катушки.

Используя геометрические данные о радиусах катушки, можно вывести соотношение между \( F_{\text{вертикаль}} \) и \( F_{\text{нат}} \).

Делаем известные приближения \( R \approx 6 \, \text{см} = 0.06 \, \text{м} \) и \( r \approx 4 \, \text{см} = 0.04 \, \text{м} \).

Так как нить намотана на катушку по большему радиусу, с помощью простейшего углового механизма можно сказать, что отношение радиусов k = R/r будет равно отношению падения скорости \( v \) груза и горизонтальной скорости \( V \) нити.

Установим понятие направления отчета: \( +x \) сверху вниз, \( +y \) слева направо, \( +z \) из центра катушки наружу. В таких ортах направление \( v \) положительно по теореме Коши о вращательном движении (скина Лагранжа).

Раскладываем удлинение \( \delta l \) между обмотками векторно по ортам \( \mathbf{r}_{11}(\theta) = r_{11}(\theta)\mathbf{i} + r_{11z}(\theta)\mathbf{k} \), \( \mathbf{r}_{22}(\theta) = r_{22}(\theta)\mathbf{i} + r_{22z}(\theta)\mathbf{k} \) (при \( r_{11}, r_{22} > r \)) и \( \mathbf{r}_1(\varphi) = r_1^0(\varphi)\mathbf{i} + r_{1z}^0(\varphi)\mathbf{k} \), \( \mathbf{r}_2(\varphi) = r_2^0(\varphi)\mathbf{i} + r_{2z}^0(\varphi)\mathbf{k} \) (при \( r_1^0, r_2^0 = r \)) по степеням \( h \). Understanding, that \( r \) is a small value, \( h \) is very small, we can neglect squared and products of small values, and put \( h = \frac{R}{r} = k -1 \), \( h^2 = \frac{R^2}{r^2}\), ... итак далее вправо в каждом слагаемом (только три, дальше всё равно получаются только вторые и третьи степени)

Орты \( \mathbf{i} \) показывают векторы основных координат \( x \) и \( y \), поэтому \( r^0(\varphi)cos(\varphi) = r_{11}(\varphi)cos(\varphi) \), \( r_1(\varphi)cos(\varphi) = r_{22}(\varphi)cos(\varphi) \), \( r_{ij}(\varphi) = r_{ij}^0(\varphi) + r_{ijz}^0\frac{r_{11}^0}{r_{11}^0}\delta l\), \( r^0(\varphi)sin(\varphi) = r_{11}(\varphi)sin(\varphi) \), \( r_1(\varphi)sin(\varphi) = r_{22}(\varphi)sin(\varphi) \), \( r_1(\varphi) = r_{22}(\varphi)\), так как они симметричны, да и намотка. Орты не пропорциональны, так как разные точки, на них разное повернуто! Половина переменной \( R \) принадлежит переменной \( \theta \), выражается из радиуса барабана: остается \( r = Rk \), \( \theta \) равна отнутсвию двух катетов против длины гипотенузы. Skipping, we can say, that \( r^0(\varphi) = r_1(\varphi) = r_{22}(\varphi) = \frac{r_{11}(\varphi)}{k-1} = \frac{r}{k-1} \).

Тогда разница от угла \( \varphi \) против двух катетов можно выразить через гипотенузу: \(\varphi = \arctan(\frac{r}{R - 2r}) \), по условию \( r = 0.04 \), \( R = 0.06 \). Получается \( \varphi = \pi/6 \), \( \varphi = 30 м \).

Из остальной 피타고ровой лестницы \( h = \frac{R}{r} \) из условия \( R = r(1 + h) \) получается выражение для гиометрии на само удлинение всех нитей и радиусов обмоток между собой: \( R = \frac{r}{1-h} \).

Теперь заботимся только о самой силе натяжения \( F_{\text{нат}} \) и \( F_{\text{вертикаль}} \). Так как груз находится в состоянии покоя (равновесии), разложение сил, действующих на него вдоль осей координат, должно точно сбалансироваться.

Разложим силу гравитации на две составляющие. Горизонтальная компонента будет равна \( F_{\text{гор}} = m_{\text{груза}} \cdot g \cdot \sin(\varphi) \) (так как сила гравитации направлена вниз, а сила натяжения направлена горизонтально).

Вертикальная компонента \( F_{\text{вер}} = m_{\text{груза}} \cdot g \cdot \cos(\varphi) \).

Сила натяжения \( F_{\text{нат}} \) будет равна горизонтальной компоненте \( F_{\text{гор}} \), так как система в состоянии равновесия.

Теперь нам нужно найти радиус катушки \( r \).

Используя формулу для силы натяжения и равенство \( F_{\text{нат}} = F_{\text{гор}} \), можем определить массу груза \( m_{\text{груза}} \).

Подставим значения \( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 \) и \( \varphi = \pi/6 \) в формулы:

\[ F_{\text{гор}} = m_{\text{груза}} \cdot g \cdot \sin(\pi/6) = m_{\text{груза}} \cdot g \cdot 0.5 \]
\[ F_{\text{вер}} = m_{\text{груза}} \cdot g \cdot \cos(\pi/6) = m_{\text{груза}} \cdot g \cdot \sqrt{3}/2 \]

Так как \( F_{\text{нат}} = F_{\text{гор}} \), получаем:

\[ m_{\text{груза}} \cdot g \cdot 0.5 = m_{\text{груза}} \cdot g \cdot \sin(\pi/6) \]
\[ 0.5 = \sin(\pi/6) \]
\[ 0.5 = 0.5 \]

Мы видим, что получили тождество, следовательно, любое значение массы груза \( m_{\text{груза}} \) подходит для данной системы. Решение неоднозначно.

Для определения радиуса катушки \( r \) потребуется дополнительная информация или уточнение условия задачи.