Когда точка В начала двигаться по окружности радиуса R=10 м, точка А начала двигаться вслед за нею со скоростью vA=3

Весенний_Дождь

67

Для решения данной задачи, давайте проведем несколько шагов.

Шаг 1: Найдем начальное расстояние между точками.

Мы знаем, что на начальном этапе расстояние между точками составляло четверть от длины окружности.
Длина окружности равна \(2\pi R\), где \(R\) - радиус окружности. В нашем случае радиус \(R = 10\) метров.
Таким образом, длина окружности равна \(2\pi \cdot 10 = 20\pi\) метров.

Четверть длины окружности составит \(\frac14 \cdot 20\pi = 5\pi\) метров.

Шаг 2: Найдем скорость точки А относительно точки В.

У нас дано, что скорость точки В равна \(v_B = 4t\) м/с. Но для решения задачи нам нужна скорость точки А относительно точки В.

Скорость точки А относительно точки В равна разности их скоростей: \(v_A - v_B\).
Подставляя значения, получаем \(3 - 4t\) м/с.

Шаг 3: Найдем время, через которое расстояние между точками увеличится до трети длины окружности.

На данный момент расстояние между точками уже составляет четверть длины окружности, т.е. \(5\pi\) метров.
Нам нужно найти время, через которое это расстояние увеличится до трети длины окружности, т.е. до \(\frac13 \cdot (20\pi)\) метров.

Для этого мы можем использовать равенство \(s = v \cdot t\), где \(s\) - расстояние, \(v\) - скорость и \(t\) - время.

Запишем это равенство для расстояния между точками А и В в начальный момент:

\[5\pi = (3 - 4t) \cdot t\]

Решим это уравнение:

\[5\pi = 3t - 4t^2\]

\[4t^2 - 3t + 5\pi = 0\]

Так как это уравнение квадратное, мы можем найти его корни с помощью дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 4\), \(b = -3\) и \(c = 5\pi\).

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5\pi\]

\[D = 9 - 80\pi\]

Так как дискриминант \(D\) меньше нуля (\(9 - 80\pi < 0\)), у уравнения нет действительных корней.

Это означает, что расстояние между точками никогда не станет равным \(\frac13 \cdot (20\pi)\) метров.

Шаг 4: Найдем угол между ускорениями точек в заданный момент времени.

Для этого нам нужно найти выражения для ускорений точек и, затем, определить угол между ними.
У нас дано, что скорость точки B равна \(v_B = 4t\) м/с.

Ускорение - это производная скорости по времени.
Дифференцируем скорость точки В по времени и находим ее ускорение:

\[\frac{dv_B}{dt} = 4 \, \text{м/с}^2\]

Значит, ускорение точки B равно постоянной величине 4 м/с².

Теперь найдем ускорение точки А относительно точки В. Для этого вычтем их ускорения:

\(a_A - a_B\)

Так как ускорение точки B равно 4 м/с², а ускорение точки А равно нулю (так как ее скорость постоянна), получаем:

\(0 - 4 = -4\) м/с².

Таким образом, ускорение точки А относительно точки В равно -4 м/с².

Угол между ускорениями точек можно найти с использованием тригонометрии, а именно, с использованием формулы скалярного произведения векторов и определения косинуса угла между ними:

\[\cos \theta = \frac{\mathbf{a_A} \cdot \mathbf{a_B}}{|\mathbf{a_A}| \cdot |\mathbf{a_B}|}\]

Подставим значения ускорений: \(\mathbf{a_A} = -4\) м/с², \(\mathbf{a_B} = 4\) м/с².

\[\cos \theta = \frac{(-4) \cdot 4}{|-4| \cdot |4|}\]

\[\cos \theta = \frac{-16}{16}\]

\[\cos \theta = -1\]

Таким образом, косинус угла между ускорениями точек А и В равен -1.

Угол \(\theta\) между векторами равен \(180^\circ\), так как косинус отрицательный.

Ответ:
1) Расстояние между точками никогда не увеличится до \(\frac{1}{3}\) длины окружности.
2) Угол между ускорениями точек А и В равен \(180^\circ\).