Что такого значения cos2B, если у нас есть треугольник ABC, где ∠C=90° и sinB=26–√1010−−√?

Zagadochnyy_Elf

5

Чтобы найти значение \(\cos2B\) в треугольнике ABC, где \(\angle C = 90^\circ\) и \(\sin B = \frac{26 - \sqrt{1010}}{\sqrt{1010}}\), нам потребуется использовать тригонометрический тождество \(\cos2B = 1 - 2\sin^2 B\).

В данной задаче у нас уже дано значение \(\sin B\), поэтому мы можем его использовать для вычисления значения \(\cos2B\).

Сначала найдем значение \(\sin^2 B\), используя формулу \(\sin^2 B = \frac{(\sin B)^2}{(\sin B)^2 + (\cos B)^2}\).

Для начала, заметим, что \(\sin B = \frac{26 - \sqrt{1010}}{\sqrt{1010}}\).

Теперь, подставим это значение в формулу \(\sin^2 B = \frac{(\sin B)^2}{(\sin B)^2 + (\cos B)^2}\).

\[\sin^2 B = \frac{\left(\frac{26 - \sqrt{1010}}{\sqrt{1010}}\right)^2}{\left(\frac{26 - \sqrt{1010}}{\sqrt{1010}}\right)^2 + (\cos B)^2}\]

Упростим числитель:

\[\sin^2 B = \frac{(26 - \sqrt{1010})^2}{1010 + (26 - \sqrt{1010})^2 \cdot (\cos B)^2}\]

Упростим знаменатель:

\[\sin^2 B = \frac{(26 - \sqrt{1010})^2}{1010 + (26 - \sqrt{1010})^2 \cdot (1 - \sin^2 B)}\]

Теперь, решим это уравнение относительно \(\sin^2 B\).

\[\sin^2 B \cdot (1010 + (26 - \sqrt{1010})^2) = (26 - \sqrt{1010})^2\]

\[\sin^2 B \cdot 1010 + \sin^2 B \cdot (26 - \sqrt{1010})^2 = (26 - \sqrt{1010})^2\]

\[\sin^2 B \cdot 1010 = (26 - \sqrt{1010})^2 - \sin^2 B \cdot (26 - \sqrt{1010})^2\]

\[\sin^2 B \cdot 1010 = \sin^2 B \cdot (26 - \sqrt{1010})^2 + (26 - \sqrt{1010})^2\]

\[\sin^2 B \cdot 1010 = \sin^2 B \cdot [(26 - \sqrt{1010})^2 + 1]\]

Теперь, поделим обе части на \(\sin^2 B\).

\[1010 = (26 - \sqrt{1010})^2 + 1\]

\[1010 = (26 - \sqrt{1010})^2 + 1\]

\[1010 - 1 = (26 - \sqrt{1010})^2\]

\[1009 = (26 - \sqrt{1010})^2\]

Возведем в квадрат обе части:

\[31^2 \cdot (\sqrt{1010})^2 - 2 \cdot 31 \cdot \sqrt{1010} \cdot 26 + 26^2 = 1009\]

\[961 \cdot 1010 - 1612 \cdot \sqrt{1010} \cdot 31 + 676 = 1009\]

\[959 \cdot 1010 - 1612 \cdot \sqrt{1010} \cdot 31 = 333\]

Теперь, выразим \(\sqrt{1010}\):

\[1612 \cdot \sqrt{1010} = 959 \cdot 1010 - 333 \cdot 31\]

\[\sqrt{1010} = \frac{959 \cdot 1010 - 333 \cdot 31}{1612}\]

\[\sqrt{1010} = \frac{969,190 - 10,323}{1612}\]

\[\sqrt{1010} = \frac{958,867}{1612}\]

\[\sqrt{1010} \approx 0,5941\]

Теперь, мы можем использовать значение \(\sqrt{1010}\), чтобы найти \(\cos2B\).

Подставим \(\sqrt{1010} \approx 0,5941\) и значение \(\sin B = \frac{26 - \sqrt{1010}}{\sqrt{1010}}\) в тождество \(\cos2B = 1 - 2\sin^2 B\).

\[\cos2B = 1 - 2\left(\frac{26 - \sqrt{1010}}{\sqrt{1010}}\right)^2\]

Распределите и упростите:

\[\cos2B = 1 - \frac{2(26 - \sqrt{1010})^2}{1010}\]

\[\cos2B = 1 - \frac{52(26 - \sqrt{1010})^2}{1010}\]

\[\cos2B = 1 - \frac{52(26^2 - 2\cdot26\cdot\sqrt{1010} + 1010)}{1010}\]

\[\cos2B = 1 - \frac{52(676 - 52\cdot\sqrt{1010} + 1010)}{1010}\]

\[\cos2B = 1 - \frac{52(1686 - 52\cdot\sqrt{1010})}{1010}\]

\[\cos2B = 1 - \frac{87272 - 2704\cdot\sqrt{1010}}{1010}\]

\[\cos2B = 1 - \frac{87272}{1010} + \frac{2704\cdot\sqrt{1010}}{1010}\]

\[\cos2B = \frac{1}{1010}(1010 - 87272 + 2704\cdot\sqrt{1010})\]

Сейчас посчитаем все значения:

\[\cos2B \approx \frac{1}{1010}(-86262 + 2704\cdot\sqrt{1010}) \approx 0,2683\]

Таким образом, значение \(\cos2B\) в данной задаче равно примерно \(0,2683\).

Можно провести дополнительную проверку, подставив полученное значение \(\cos2B\) в изначальное тождество \(\cos2B = 1 - 2\sin^2 B\) и убедиться, что оно выполняется.