Какова длина стороны AB треугольника ABC, если он вписан в окружность радиусом √3 и угол A составляет 70 градусов

Петрович

68

Давайте решим эту задачу пошагово. У нас есть треугольник ABC, который вписан в окружность радиусом \(\sqrt{3}\). Угол A равен 70 градусам, а угол B равен 50 градусам.

Шаг 1: Найдем угол C треугольника ABC. Сумма всех углов треугольника равна 180 градусам. Таким образом, \(C = 180 - A - B\).

\(C = 180 - 70 - 50 = 60\) (градусов).

Шаг 2: Так как треугольник ABC вписан в окружность радиусом \(\sqrt{3}\), мы можем воспользоваться свойством вписанных углов. Вписанный угол равен половине центрального угла, который опирается на ту же дугу окружности.

Таким образом, угол C равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, что и угол C. Следовательно, этот центральный угол равен \(2C = 2 \cdot 60 = 120\) (градусов).

Шаг 3: Теперь мы можем найти длину дуги окружности, которой соответствует этот центральный угол. Длина дуги на окружности можно вычислить по формуле \(L = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r\), где \(\theta\) - центральный угол в радианах, а \(r\) - радиус окружности.

В нашем случае, центральный угол \(\theta = 120\) (градусов) и радиус окружности \(r = \sqrt{3}\). Подставляя значения, получаем:

\(L = \frac{120}{360} \cdot 2\pi \sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 2\pi \sqrt{3} = \frac{2\pi \sqrt{3}}{3}\).

Шаг 4: Так как длина дуги равна длине стороны AB треугольника ABC, мы можем записать \(AB = \frac{2\pi \sqrt{3}}{3}\).

Полученное выражение является ответом на задачу. Длина стороны AB треугольника ABC равна \(\frac{2\pi \sqrt{3}}{3}\).