Хорошо! Я могу создать уравнение касательной для вас. Давайте начнем с определения касательной.
Касательная - это прямая линия, которая касается графика функции только в одной точке и имеет тот же наклон, что и функция в этой точке. Другими словами, касательная представляет собой прямую, которая лежит вдоль графика функции и хорошо приближает его поведение в окрестности выбранной точки.
Для нахождения уравнения касательной, нам нужно знать не только точку касания, но и склон функции в этой точке. Для этого мы можем использовать производную функции.
Таким образом, чтобы написать уравнение касательной, нам нужно:
1. Найти производную исходной функции.
2. Подставить значение аргумента функции, соответствующее точке касания, в производную, чтобы найти наклон функции в этой точке.
3. Использовать найденную точку касания и наклон функции, чтобы написать уравнение прямой касательной в форме \(y = mx + b\), где \(m\) - наклон, а \(b\) - точка пересечения с осью ординат.
Для наглядности и понимания процесса, рассмотрим пример.
Пусть у нас есть функция \(f(x) = 2x^2 + 3x - 1\), и мы хотим найти уравнение касательной в точке \(x = 2\).
1. Найдем производную функции \(f"(x)\). Для этого возьмем производную каждого из слагаемых по отдельности:
\[f"(x) = (2x^2)" + (3x)" + (-1)"\]
\[f"(x) = 4x + 3\]
2. Подставим \(x = 2\) в \(f"(x)\), чтобы найти наклон функции в точке касания:
\[f"(2) = 4(2) + 3 = 11\]
3. Используем найденные значения, чтобы написать уравнение касательной. Так как нам дана точка касания \((2, f(2))\), мы можем записать уравнение в форме \(y = mx + b\), где \(m = f"(2)\) и \(b = f(2)\):
\[y = 11x + b\]
Теперь нам нужно узнать значение функции \(f(x)\) в точке \(x = 2\). Подставим \(x = 2\) в исходную функцию:
\[f(2) = 2(2)^2 + 3(2) - 1 = 11\]
Таким образом, уравнение касательной к функции \(f(x) = 2x^2 + 3x - 1\) в точке \(x = 2\) имеет вид \(y = 11x + 11\).
Чтобы подробно описать каждый этап процесса, я предоставил подробные объяснения и пошаговое решение. Это должно помочь вам понять, как получить уравнение касательной.
Грей 36
Хорошо! Я могу создать уравнение касательной для вас. Давайте начнем с определения касательной.Касательная - это прямая линия, которая касается графика функции только в одной точке и имеет тот же наклон, что и функция в этой точке. Другими словами, касательная представляет собой прямую, которая лежит вдоль графика функции и хорошо приближает его поведение в окрестности выбранной точки.
Для нахождения уравнения касательной, нам нужно знать не только точку касания, но и склон функции в этой точке. Для этого мы можем использовать производную функции.
Таким образом, чтобы написать уравнение касательной, нам нужно:
1. Найти производную исходной функции.
2. Подставить значение аргумента функции, соответствующее точке касания, в производную, чтобы найти наклон функции в этой точке.
3. Использовать найденную точку касания и наклон функции, чтобы написать уравнение прямой касательной в форме \(y = mx + b\), где \(m\) - наклон, а \(b\) - точка пересечения с осью ординат.
Для наглядности и понимания процесса, рассмотрим пример.
Пусть у нас есть функция \(f(x) = 2x^2 + 3x - 1\), и мы хотим найти уравнение касательной в точке \(x = 2\).
1. Найдем производную функции \(f"(x)\). Для этого возьмем производную каждого из слагаемых по отдельности:
\[f"(x) = (2x^2)" + (3x)" + (-1)"\]
\[f"(x) = 4x + 3\]
2. Подставим \(x = 2\) в \(f"(x)\), чтобы найти наклон функции в точке касания:
\[f"(2) = 4(2) + 3 = 11\]
3. Используем найденные значения, чтобы написать уравнение касательной. Так как нам дана точка касания \((2, f(2))\), мы можем записать уравнение в форме \(y = mx + b\), где \(m = f"(2)\) и \(b = f(2)\):
\[y = 11x + b\]
Теперь нам нужно узнать значение функции \(f(x)\) в точке \(x = 2\). Подставим \(x = 2\) в исходную функцию:
\[f(2) = 2(2)^2 + 3(2) - 1 = 11\]
После замены получаем окончательное уравнение касательной:
\[y = 11x + 11\]
Таким образом, уравнение касательной к функции \(f(x) = 2x^2 + 3x - 1\) в точке \(x = 2\) имеет вид \(y = 11x + 11\).
Чтобы подробно описать каждый этап процесса, я предоставил подробные объяснения и пошаговое решение. Это должно помочь вам понять, как получить уравнение касательной.