⦁ Какое уравнение описывает движение точки, если ее положение на начальный момент времени Sо = 4 м, а скорость задается

Letuchiy_Volk

1

Для первой задачи, у нас дано начальное положение \(S_0 = 4\) м и скорость точки задана уравнением \(v = t^2 - 6t + 7\).

Для нахождения уравнения описывающего движение точки, мы можем воспользоваться основным уравнением кинематики:
\[V(t) = V_0 + at\]
где \(V(t)\) - скорость точки в момент времени \(t\), \(V_0\) - начальная скорость и \(a\) - ускорение.

В данном случае ускорение отсутствует, так как мы рассматриваем движение с постоянной скоростью. Поэтому основное уравнение кинематики примет вид:
\[S(t) = S_0 + V_0 \cdot t\]
где \(S(t)\) - положение точки в момент времени \(t\), \(S_0\) - начальное положение и \(V_0\) - начальная скорость.

Зная это, мы можем интегрировать уравнение скорости \(v = t^2 - 6t + 7\) для нахождения уравнения положения \(S(t)\).

Интегрируя уравнение скорости по времени, получаем:
\[\int v \, dt = \int (t^2 - 6t + 7) \, dt\]

Проинтегрировав выражение, получаем:
\[S(t) = \frac{1}{3}t^3 - 3t^2 + 7t + C\]
где \(C\) - постоянная интегрирования.

Находим значение постоянной \(C\) из условия задачи, где положение точки в начальный момент времени \(S_0 = 4\):
\[S(0) = 4 \Rightarrow C = 4\]

Таким образом, уравнение описывающее движение точки будет:
\[S(t) = \frac{1}{3}t^3 - 3t^2 + 7t + 4\]

Для второй задачи, у нас дано уравнение скорости \(v = t^2 - t + 3\) и начальное положение \(S_0\) не указано.

Аналогично предыдущей задаче, мы интегрируем уравнение скорости по времени, чтобы найти уравнение положения:
\[\int v \, dt = \int (t^2 - t + 3) \, dt\]

Производим интегрирование:
\[S(t) = \frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + 3t + D\]
где \(D\) - постоянная интегрирования.

Так как начальное положение \(S_0\) не указано, то постоянная интегрирования \(D\) будет определена значением начального положения. Для сокращения записи, обозначим ее как \(S_0\).

Таким образом, уравнение описывающее движение тела будет:
\[S(t) = \frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + 3t + S_0\]