Дано: ABCD — четырехугольник, BC= 2 см, BA= 11 см, ∡ B равен 45°. Найти: площадь треугольника S(ABC) и площадь

Светлый_Ангел

56

Решение:

Дано: \(BC = 2 \, \text{см}\), \(BA = 11 \, \text{см}\), \(\angle B = 45^\circ\).

1. Находим длину отрезка AC:
Используем теорему косинусов для треугольника ABC:
\[AC^2 = BC^2 + BA^2 - 2 \cdot BC \cdot BA \cdot \cos{\angle B}\]
\[AC^2 = 2^2 + 11^2 - 2 \cdot 2 \cdot 11 \cdot \cos{45^\circ}\]
\[AC^2 = 4 + 121 - 44 \sqrt{2} \approx 119.02\]
\[AC \approx \sqrt{119.02} \approx 10.91 \, \text{см}\]

2. Вычисляем площадь треугольника ΔABC:
Можно использовать формулу для площади треугольника по стороне и прилегающим к ней углам:
\[S(ΔABC) = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BA \cdot \sin{\angle B}\]
\[S(ΔABC) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 11 \cdot \sin{45^\circ}\]
\[S(ΔABC) = 11 \, \text{см}^2\]

3. Находим площадь четырехугольника ABCD:
Площадь четырехугольника равна сумме площадей двух треугольников: ΔABC и ΔACD.
Поскольку у нас уже есть площадь ΔABC, остается найти площадь ΔACD.

Вычислим угол ∡ A:
\[\angle A = 180^\circ - \angle B\]
\[\angle A = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\]

Далее, используем формулу для площади треугольника по двум сторонам и углу между ними:
\[S(ΔACD) = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin{\angle A}\]
\[S(ΔACD) = \frac{1}{2} \cdot 10.91 \cdot 10.91 \cdot \sin{135^\circ}\]
\[S(ΔACD) = 59.82 \, \text{см}^2\]

Тогда площадь четырехугольника ABCD равна:
\[S(ABCD) = S(ΔABC) + S(ΔACD) = 11 + 59.82 = 70.82 \, \text{см}^2\]

Итак, площадь треугольника ΔABC равна 11 см², а площадь четырехугольника ABCD равна 70.82 см².